《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ D $ 是边 $ AC $ 上一点,连接 $ BD $,$ EC \perp AC $,且 $ AE = BD $,$ AE $ 与 $ BC $ 交于点 $ F $,与 $ BD $ 交于点 $ G $。
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle CAE $；
(2)当 $ AD = CF $ 时,求 $ \angle ABD $ 的度数。

答案： （1）因为EC⊥AC，∠BAC=90°，所以∠ACE=∠BAC=90°。在Rt△CAE与Rt△ABD中，因为$\left\{\begin{array}{l} AE=BD,\\ CA=AB,\end{array}\right. $所以Rt△CAE≌Rt△ABD（HL）。（2）因为Rt△CAE≌Rt△ABD，所以∠EAC=∠ABD，∠E=∠ADB，CE=AD。因为AD=CF，所以CE=CF，所以∠CFE=∠E。因为∠CFE=∠AFB，所以∠AFB=∠E。因为∠E=∠ADB，所以∠AFB=∠ADB。因为∠AGB=∠EAC+∠ADB，∠AGB=∠DBC+∠AFB，所以∠EAC=∠DBC。因为∠EAC=∠ABD，所以∠ABD=∠DBC，所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC。因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ABD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。

14 将两个全等的直角 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DBE $(顶点 $ A $、$ B $ 的对应点分别为 $ D $、$ B $)按如图所示的方式摆放,其中 $ \angle ACB = \angle DEB = 90^{\circ} $,$ \angle A = \angle D = 30^{\circ} $,点 $ E $ 落在边 $ AB $ 上,$ DE $ 所在的直线交 $ AC $ 所在的直线于点 $ F $。
(1)求证：$ AF + EF = DE $；
(2)若将图中的 $ \triangle DBE $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转角 $ \alpha $,其中 $ 0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 60^{\circ} $,其他条件不变,那么(1)中的结论是否仍然成立？直接写出结论。
(3)若将图中的 $ \triangle DBE $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转角 $ \beta $,且 $ 60^{\circ} ＜ \beta ＜ 180^{\circ} $,其他条件不变,你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立,写出证明过程；若不成立,请写出 $ AF $、$ EF $ 与 $ DE $ 之间的关系,并说明理由。

答案： （1）证明：连接BF。因为△ABC≌△DBE（已知），所以BC=BE，AC=DE。因为∠ACB=∠DEB=90°，所以∠BCF=∠BEF=90°。在Rt△BFC和Rt△BFE中，因为$\left\{\begin{array}{l} BC=BE,\\ BF=BF,\end{array}\right. $所以Rt△BFC≌Rt△BFE（HL），所以CF=EF。又因为AF+CF=AC，所以AF+EF=DE。（2）AF+EF=DE仍成立，证法同（1）。（3）不成立。应改为EF+ED=AF。证明：连接BF。因为△ABC≌△DBE，所以BC=BE，AC=DE。因为∠ACB=∠DEB=90°，所以∠BEF=∠BCF=90°。在Rt△BCF和Rt△BEF中，因为$\left\{\begin{array}{l} BC=BE,\\ BF=BF,\end{array}\right. $所以Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），所以CF=EF，因为AF=AC+FC，所以EF+ED=AF。