《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 已知$x_{1}$、$x_{2}是一元二次方程x^{2}-5x - 2 = 0$的两个根,不解方程,求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$；
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案：
(1)由题意可知,$x_{1}+x_{2}=5$,$x_{1}x_{2}=-2$。$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-2×5=-10$。
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$。

13. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+6x + (2m + 1) = 0$有实数根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,且满足$2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}\geqslant8$,求$m$的取值范围。

答案：
(1)因为方程有实数根,所以$\Delta=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m\geq0$,解得$m\leq4$。
(2)因为$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}+6x+(2m+1)=0$的两个实数根,所以$x_{1}+x_{2}=-6$,$x_{1}\cdot x_{2}=2m+1$。因为$2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}\geq8$,所以$2(2m+1)+6\geq8$,解得$m\geq0$。所以$0\leq m\leq4$。

14. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-2 = 0$。
(1)若该方程有两个实数根,求$m$的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,且$(x_{1}-x_{2})^{2}+m^{2}= 21$,求$m$的值。

答案：
(1)根据题意,得$\Delta=(2m+1)^{2}-4(m^{2}-2)\geq0$,解得$m\geq-\frac{9}{4}$。所以m的最小整数值为-2。
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=-(2m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}-2$。因为$(x_{1}-x_{2})^{2}+m^{2}=21$,所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+m^{2}=21$,所以$[-(2m+1)]^{2}-4(m^{2}-2)+m^{2}=21$。整理得$m^{2}+4m-12=0$,解得$m_{1}=2$,$m_{2}=-6$。因为$m\geq-\frac{9}{4}$,所以$m=2$。