《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13. (1)如图①,$ \angle MAN = 120^{\circ} $,$ AP $ 平分 $ \angle MAN $,点 $ C $ 是射线 $ AP $ 上一点,$ \angle BCD = 60^{\circ} $,且与 $ AM $、$ AN $ 分别交于点 $ D $、$ B $,求证：$ CD = CB $。
(2)如图②,其他条件不变,将图①中的 $ \angle BCD $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转使点 $ D $ 落在 $ AM $ 的反向延长线上。请探究线段 $ AB $、$ AC $ 和 $ AD $ 之间的数量关系,写出结论并证明。

答案：

(1)证明:如图①，过点C作CE⊥AN交于点E，CF⊥AM交于点F，所以∠CFD=∠CEB=90°。因为AC是∠MAN的平分线，所以CE=CF。因为∠MAN=120°，所以∠ECF=360°−∠AFC−∠AEC−∠MAN=360°−90°−90°−120°=60°。因为∠BCD=60°，所以∠BCD=∠ECF。所以∠BCD−∠BCF=∠ECF−∠BCF，即∠DCF=∠BCE。在△CFD和△CEB中，因为$\begin{cases}∠DCF = ∠BCE \\ CF = CE \\ ∠CFD = ∠CEB \end{cases}$，所以△CFD≌△CEB(ASA)，所以CD=CB。
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
(2)AB=AC+AD，理由如下:如图②，在线段AB上取点G，使AG=AC，连接CG。因为∠PAB=$\frac{1}{2}$∠MAN=60°，AG=AC，所以△ACG是等边三角形，所以AC=CG=AG，∠ACG=60°。因为∠ACG=∠BCD=60°，所以∠ACG−∠DCG=∠BCD−∠DCG，即∠ACD=∠GCB。因为∠CAM=∠CGA=60°，所以∠CAD=∠CGB=180°−60°=120°。在△CAD和△CGB中，因为$\begin{cases}∠ACD = ∠GCB \\ AC = GC \\ ∠CAD = ∠CGB \end{cases}$，所以△CAD≌△CGB(ASA)，所以AD=GB。所以AB=AG+GB=AC+AD。