《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-\sqrt{2k + 4}x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1)求 $ k $ 的取值范围； (2)化简： $ |-k - 2|+\sqrt{k^{2}-4k + 4} $。

答案： （1）由$ \Delta ＞ 0 $，得$ k ＜ 2 $；由$ 2k+4 \geqslant 0 $，得$ k \geqslant -2 $。所以 k 的取值范围是$ -2 \leqslant k ＜ 2 $。（2）$ |-k - 2|+\sqrt{k^{2}-4k + 4}=|k + 2|+|k - 2|=k + 2 + 2 - k=4 $。

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2\sqrt{-a}x + \frac{(a - 1)^{2}}{4} = 0 $ 有实数根,其中 $ a $ 为实数,求 $ a^{2025}-x^{2025} $ 的值。

答案： 由题意可得$ -a \geqslant 0 $，$ a \leqslant 0 $。因为$ \Delta =4(\sqrt{-a})^{2}-\frac{(a - 1)^{2}}{4}×4=4(-a)-(a - 1)^{2}=-4a - a^{2}+2a - 1=-(a + 1)^{2} \geqslant 0 $，所以$ a=-1 $，此时原方程可化为$ x^{2}-2x + 1 = 0 $，解得$ x_{1}=x_{2}=1 $。所以$ a^{2025}-x^{2025}=-1 - 1=-2 $。

14. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三条边,关于 $ x $ 的方程 $ (b + c)x^{2}+\sqrt{2}(a - c)x - \frac{3}{4}(a - c) = 0 $ 有两个相等的实数根。求证：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形。

答案： 因为方程有两个相等的实数根，所以$ \Delta =0 $。即$ [\sqrt{2}(a - c)]^{2}-4(b + c)\left(-\frac{3}{4}(a - c)\right)=0 $，可得$ 2(a - c)^{2}+3(b + c)(a - c)=0 $，提取公因式$(a - c)$得$(a - c)[2(a - c)+3(b + c)]=0$，即$(a - c)(2a - 2c + 3b + 3c)=(a - c)(2a + 3b + c)=0$。因为 a、b、c 是$ \triangle ABC $的三条边，所以$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，所以$ 2a + 3b + c ＞ 0 $，所以$ a - c=0 $，即$ a = c $，所以$ \triangle ABC $是等腰三角形。