《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 如图,∠C= 90°,AC= 3,BC= 4,AB= 5,∠BAC 和∠ABC 的平分线交于点 O,过 O 作 OD⊥AB 于点 D,OE⊥BC 于点 E,OF⊥AC 于点 F,求 OD 的长。

答案： 如图,连接 OC。因为∠BAC 和∠ABC 的平分线交于点 O,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,所以 OD=OE=OF。因为 S△ABC=1/2AC·BC=1/2×3×4=6,又因为 S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2AB·OD+1/2BC·OE+1/2AC·OF=1/2(AB+BC+AC)·OD=6OD,所以 6OD=6,所以 OD=1。

13. 已知 AD 为等边△ABC 的角平分线,动点 E 在直线 AD 上(不与点 A 重合),连接 BE。以 BE 为一边在 BE 的下方作等边△BEF,连接 CF。


(1) 如图①,若点 E 在线段 AD 上,且 DE= BD,则∠CBF= ______度。
(2) 如图②,若点 E 在 AD 的反向延长线上,且直线 AE、CF 交于点 M。
① 求∠AMC 的度数；
② 若△ABC 的边长为 8,P、Q 为直线 CF 上的两个动点,且 PQ= 10。连接 BP、BQ。判断△BPQ 的面积是否为定值。若是,请直接写出这个定值；若不是,请说明理由。

答案：
(1) 15
(2) ① 因为△ABC 和△BEF 均为等边三角形,所以 AB=CB,EB=FB,∠EBF=∠ABC=60°,所以∠EBA=∠FBC。在△ABE 和△CBF 中,因为 AB=CB,∠ABE=∠CBF,EB=FB,所以△ABE≌△CBF(SAS),所以∠AEB=∠CFB。又因为∠AEB+∠EBF=∠CFB+∠AMC,所以∠AMC=∠EBF=60°。② 过 B 作 BN⊥CM 于点 N,连接 DN。由 ① 可知,∠AMC=60°,所以∠BCN=30°,∠CBN=60°。因为 AD 平分∠BAC,AB=AC,所以 D 是 BC 的中点,所以 BD=DN=1/2BC,所以△BDN 是等边三角形,所以 BN=BD=1/2BC=4。因为 PQ=10,所以 S△BPQ=1/2×4×10=20,所以△BPQ 的面积为定值 20。