《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 已知$a$为正整数,二次根式$\sqrt{5a + 3}$是最简二次根式。
(1)求二次根式$\sqrt{5a + 3}$的最小值；
(2)若二次根式$\sqrt{14 - 3a}$是最简二次根式,求$\dfrac{\sqrt{5a + 3}}{\sqrt{14 - 3a}}$的值。

答案： （1）因为$a$是正整数,所以当$a=1$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{8}$,不是最简二次根式;当$a=2$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{13}$,是最简二次根式。所以$\sqrt{5a+3}$的最小值为$\sqrt{13}$。（2）由$14-3a\geqslant0$,$5a+3\geqslant0$,解得$-\dfrac{3}{5}\leqslant a\leqslant\dfrac{14}{3}$。所以$a$可能的取值为1、2、3、4。当且仅当$a=4$时,$\sqrt{5a+3}=\sqrt{23}$,$\sqrt{14-3a}=\sqrt{2}$都是最简二次根式,所以原式$=\dfrac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$。

13. 把$\sqrt{63}$化成最简二次根式后,被开方数与最简二次根式$\sqrt{3a + 1}$的被开方数相同,$b是27$的立方根。
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求$3a + b$的平方根；
(3)若$x= \sqrt{b}-a$,求$x^{2}+4x + 7$的值。

答案： （1）$\sqrt{63}=3\sqrt{7}$,由题意可得$3a+1=7$,所以$a=2$。$b=\sqrt[3]{27}=3$。（2）当$a=2$,$b=3$时,$3a+b=3×2+3=9$,所以$3a+b$的平方根为$\pm3$。（3）$x^{2}+4x+7=(x+2)^{2}+3=(\sqrt{3}-2+2)^{2}+3=3+3=6$。

14. 某同学作业本上有这么一道题：“当$a= $█时,试求$(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a^{2}-2a + 1}$的值。”其中█是被墨水弄污的,该同学所求得的答案为$\dfrac{1}{2}$,请你判断该同学的答案是否正确,并说出你的理由。

答案： 该同学的答案是不正确的。理由如下:由题意可得$a\geqslant0$,$(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a^{2}-2a+1}=a+|a-1|$。当$a\geqslant1$时,原式$=a+a-1=2a-1$,$2a-1\geqslant1$,不可能为$\dfrac{1}{2}$;当$0\leqslant a\lt1$时,原式$=a-a+1=1$,也不可能为$\dfrac{1}{2}$。所以该同学的答案不可能正确。