《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 2)x^{a^{2}-2}+bx - 3 = -(x + 1) $的一次项系数为 $ 0 $,求 $ \frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{3}} $的值。

答案： 因为方程化为一般形式为$(a-2)x^{(a^{2}-2)}+(b+1)x-2=0$，所以$a^{2}-2=2$且$a-2\neq 0$，所以$a=-2$。又因为一次项系数为0，所以$b+1=0$，所以$b=-1$。所以$\frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{3}}=\frac{(-2)^{2}-(-1)^{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。

13 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $经过适当变形,可以写成 $ (x - m)(x - n)= p(m \leq n) $的形式。现列表探究 $ x^{2}-4x - 3 = 0 $的变形：
|变形| $ m $ | $ n $ | $ p $ |
| $ (x + 1)(x - 5)= -2 $ | $ -1 $ | $ 5 $ | $ -2 $ |
| $ x(x - 4)= 3 $ | $ 0 $ | $ 4 $ | $ 3 $ |
| $ (x - 1)(x - t)= 6 $ | $ 1 $ | $ t $ | $ 6 $ |
| $ (x - 2)^{2}= 7 $ | $ 2 $ | $ 2 $ | $ 7 $ |
回答下列问题：
(1) 表格中 $ t $ 的值为______；
(2) 观察上述探究过程,表格中 $ m $ 与 $ n $ 满足的等量关系为______；
(3) 记 $ x^{2}+bx + c = 0 $的两个变形为 $ (x - m_{1})(x - n_{1})= p_{1} $和 $ (x - m_{2})(x - n_{2})= p_{2}(p_{1} \neq p_{2}) $,求 $ \frac{n_{1}-n_{2}}{m_{1}-m_{2}} $的值。

答案： （1）3 （2）$m+n=4$ （3）-1

14 定义：如果一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $满足 $ a - b + c = 0 $,那么我们称这个方程为“理想方程”。
(1) 判断一元二次方程 $ 2x^{2}+9x + 7 = 0 $是否为“理想方程”,并说明理由；
(2) 已知 $ 4x^{2}-mx + n = 0 $是关于 $ x $ 的“理想方程”,若 $ 2 $是此“理想方程”的一个根,求 $ m $、$ n $的值。

答案： （1）一元二次方程$2x^{2}+9x+7=0$是“理想方程”。理由如下：因为$a=2$，$b=9$，$c=7$，$2-9+7=0$，所以一元二次方程$2x^{2}+9x+7=0$为“理想方程”；（2）因为$4x^{2}-mx+n=0$是关于$x$的“理想方程”，所以$4+m+n=0$，将$x=2$代入$4x^{2}-mx+n=0$中，得$16-2m+n=0$，联立$\left\{\begin{array}{l} 4+m+n=0\\ 16-2m+n=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} m=4\\ n=-8\end{array}\right.$，所以$m=4$，$n=-8$。