《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}+3x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是( )。

A.$ m ＞ -\frac{9}{4} $
B.$ m \geqslant -\frac{9}{4} $
C.$ m ＞ -\frac{9}{4} $ 且 $ m \neq 0 $
D.$ m \geqslant -\frac{9}{4} $ 且 $ m \neq 0 $

答案： C

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+\sqrt{k - 1}x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是( )。

A.$ k ＞ - 3 $
B.$ k \geqslant 1 $
C.$ k ＞ - 3 $ 且 $ k \neq 0 $
D.$ k ＞ 1 $

答案： B

3. 对于关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 的根的情况,有以下四种表述：
① 当 $ a ＜ 0 $,$ b + c ＞ 0 $,$ a + c ＜ 0 $ 时,方程一定没有实数根；
② 当 $ a ＜ 0 $,$ b + c ＞ 0 $,$ b - c ＜ 0 $ 时,方程一定有实数根；
③ 当 $ a ＞ 0 $,$ a + b + c ＜ 0 $ 时,方程一定没有实数根；
④ 当 $ a ＞ 0 $,$ b + 4a = 0 $,$ 4a + 2b + c = 0 $ 时,方程一定有两个不相等的实数根。
其中表述正确的序号是( )。

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： B

4. 如果关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}-2x + 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根,那么 $ m $ 的取值范围是______。

答案： $ m＜\frac{1}{3} $且$ m\neq 0 $

5. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + a = 0 $ 有实数根,化简：$ |a - 1|-\sqrt{(2 - a)^{2}} = $______。

答案： -1

6. 如果关于 $ x $ 的方程 $ kx^{2}-\sqrt{2k + 1}x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,那么 $ k $ 的取值范围是______。

答案： $ -\frac{1}{2}\leqslant k＜\frac{1}{2} $且$ k\neq 0 $

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根,且其中一个根为另一个根的 $ 2 $ 倍,则称这样的一元二次方程为“倍根方程”,例如：方程 $ x^{2}-6x + 8 = 0 $ 是“倍根方程”。若 $ (x - 2)(ax - b) = 0(a \neq 0) $ 是“倍根方程”,则代数式$ \frac{2a - b}{a + b} $ 的值为______。

答案： $ \frac{1}{2} $或$ -\frac{2}{5} $［提示：由$ (x-2)(ax-b)=0(a\neq 0) $，得$ x_{1}=2 $，$ x_{2}=\frac{b}{a} $。因为$ (x-2)(ax-b)=0(a\neq 0) $是“倍根方程”，所以$ \frac{b}{a}=1 $或$ \frac{b}{a}=4 $，即$ b=a $或$ b=4a $。当$ b=a $时，$ \frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-a}{a+a}=\frac{1}{2} $；当$ b=4a $时，$ \frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-4a}{a+4a}=-\frac{2}{5} $。所以代数式$ \frac{2a-b}{a+b} $的值为$ \frac{1}{2} $或$ -\frac{2}{5} $。］

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-kx + k - 1 = 0 $,若该方程的一个根小于 $ 1 $,则 $ k $ 的取值范围为______。

答案： $ k＜2 $

9. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ b^{2}-2(1 + 2c) = $______。

答案： -2［提示：因为关于x的一元二次方程$ x^{2}+bx+c=0 $有两个相等的实数根，所以$ \Delta =b^{2}-4c=0 $，所以$ b^{2}-2(1+2c)=b^{2}-4c-2=0-2=-2 $。］

10. 已知 $ m $、$ n $、$ 6 $ 分别是等腰三角形的三边长,且 $ m $、$ n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-18x + k + 80 = 0 $ 的两根,则 $ k $ 的值为______。

答案： 1［提示：分两种情况讨论，①当$ m=6 $时，$ 6^{2}-18× 6+k+80=0 $，可得$ k=-8 $，此时原方程为$ x^{2}-18x+72=0 $，解得$ x_{1}=6 $，$ x_{2}=12 $。于是等腰三角形的三边长分别为6、6、12，不符合题意；②当$ m=n $时，原方程有两个相等的实数根，所以$ \Delta =18^{2}-4(k+80)=0 $，解得$ k=1 $。此时等腰三角形的三边长分别为9、9、6，符合题意。综上所述，$ k=1 $。］