《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$、$x_{2}$。
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $x_{1}x_{2}= 5$,求 $k$ 的值。

答案： （1）由$ \Delta=(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0 $,可得$ k＞\frac{3}{4} $。（2）根据根与系数的关系,得$ x_{1}x_{2}=k^{2}+1 $。因为$ x_{1}x_{2}=5 $,所以$ k^{2}+1=5 $,解得$ k=\pm2 $。因为$ k＞\frac{3}{4} $,所以$ k=2 $。

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x - m^{2}= 0$ 的两实根 $x_{1}$、$x_{2}$ 满足 $x_{1}+2x_{2}= 9$,求 $m$ 的值。

答案： $ \Delta=16+4m^{2}＞0 $,所以m可取任何实数。因为$ x_{1}+x_{2}=4 $,$ x_{1}+2x_{2}=9 $,所以$ x_{1}=-1 $,$ x_{2}=5 $。又因为$ x_{1}x_{2}=-m^{2} $,所以$ m^{2}=5 $,解得$ m=\pm\sqrt{5} $。

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-5mx + 3m^{2}= 0$。
(1) 求证：该方程总有两个实数根；
(2) 若该方程两个实数根的差的绝对值为 2,求 $m$ 的值。

答案： （1）证明:$ \Delta=(-5m)^{2}-4×3m^{2}=25m^{2}-12m^{2}=13m^{2} $,因为$ m^{2}\geq0 $,所以$ \Delta\geq0 $,所以无论m为何值,该方程总有两个实数根。（2）设$ x_{1} $、$ x_{2} $是关于x的一元二次方程$ x^{2}-5mx+3m^{2}=0 $的两个实数根,所以$ x_{1}+x_{2}=-\frac{-5m}{1}=5m $,$ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{3m^{2}}{1}=3m^{2} $。因为$ |x_{1}-x_{2}|=2 $,所以$ (x_{1}-x_{2})^{2}=4 $,所以$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4 $,即$ (5m)^{2}-4×3m^{2}=4 $,所以$ m^{2}=\frac{4}{13} $,解得$ m=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13} $。所以m的值为$ \frac{2\sqrt{13}}{13} $或$ -\frac{2\sqrt{13}}{13} $。