《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 若 $(x^2 + y^2)^2 - 5(x^2 + y^2) - 6 = 0$,求 $x^2 + y^2$ 的值。

答案： 设$x^{2} + y^{2} = z$,则原方程可转化为$z^{2} - 5z - 6 = 0$,即$(z - 6)(z + 1) = 0$,解得$z_{1} = 6$,$z_{2} = -1$。因为$x^{2} + y^{2} \geq 0$,所以$x^{2} + y^{2} = 6$。

13. 如果 $x = -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + x + c^2 - 8c - 2 = 0$ 的一个根,求 $c$ 的值及另一个根。

答案： 因为$x = -2$是关于$x$的一元二次方程$x^{2} + x + c^{2} - 8c - 2 = 0$的一个根,所以$4 - 2 + c^{2} - 8c - 2 = 0$,即$c(c - 8) = 0$,解得$c_{1} = 0$,$c_{2} = 8$。当$c = 0$时,原方程为$x^{2} + x - 2 = 0$,即$(x - 1)(x + 2) = 0$,解得$x_{1} = 1$,$x_{2} = -2$;当$c = 8$时,原方程为$x^{2} + x - 2 = 0$,即$(x - 1)(x + 2) = 0$,解得$x_{1} = 1$,$x_{2} = -2$。所以$c$的值为0或8,另一个根为$x = 1$。

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1)x^2 - (a^2 + 1)x + a^2 + a = 0$ 的根都是正整数,求整数 $a$ 的值。

答案： 原方程可化为$(x - a)[(a - 1)x - (a + 1)] = 0$,解得$x_{1} = a$,$x_{2} = \frac{a + 1}{a - 1} = 1 + \frac{2}{a - 1}$。因为$x_{1} = a$为正整数,$x_{2} = 1 + \frac{2}{a - 1}$也为正整数,所以$a = 2$或3。