《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

8. 如图,国庆节期间,小明一家自驾到某景区 $ C $ 游玩,到达 $ A $ 地后,导航显示车辆应先行驶 $ 10 $ 千米至 $ B $ 地,再沿北偏东 $ 45 ^ { \circ } $ 方向行驶 $ 8 \sqrt { 2 } $ 千米到达景区 $ C $。小明发现景区 $ C $ 恰好在 $ A $ 地的正北方向,则 $ A $、$ C $ 两地的距离为______千米。

答案： 14

9. 如图,在长方形 $ ABCD $ 中,$ AB = 3 $,$ AD = 9 $,将此长方形折叠,使点 $ A $ 与点 $ C $ 重合,折痕为 $ EF $,则 $ EC $ 的长为______。

答案： 5

10. 如图,门上钉子 $ P $ 处挂了一个“欢迎光临”的长方形挂牌 $ ABCD $,其中 $ AB = 10 \mathrm{cm} $,$ AD = 24 \mathrm{cm} $。如图①,当挂牌水平悬挂(即 $ BC $ 与地面平行)时,测得挂绳总长为 $ 40 \mathrm{cm} $,其中 $ AP = DP = 20 \mathrm{cm} $,此时点 $ P $ 到 $ BC $ 所在直线的距离为______$ \mathrm{cm} $。将挂绳的总长度缩短 $ 4 \mathrm{cm} $ 后重新挂上,此时不小心把挂牌弄斜了(如图②),发现此时 $ AC $ 与地面平行,且点 $ P $、$ D $、$ C $ 三点在同一直线上,则点 $ B $ 的高度下降了______$ \mathrm{cm} $。

答案：
26，$\frac{22}{13}$ [提示:如图,连接AC,过点P作$PN \perp AC$于点N,过点B作$BM \perp AC$于点M。由题意可得$AP + PD = 40 - 4 = 36(cm)$，$AD = 24cm$,设$PD = x cm$,则$AP = (36 - x) cm$,因为P、D、C共线,所以$\angle ADP = \angle ADC = 90^{\circ}$,所以$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}$,所以$(36 - x)^{2}=24^{2}+x^{2}$,解得$x = 10$,所以$PD = DC = 10cm$，$AP = 26cm$。又因为$AD \perp CD$,所以AD垂直平分CP,所以$AP = AC = 26cm$。因为$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}PC \cdot AD=\frac{1}{2}AC \cdot PN$,所以$20 × 24 = 26 × PN$,所以$PN=\frac{240}{13}cm$。因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot BC=\frac{1}{2}AC \cdot BM$,所以$10 × 24 = 26 × BM$,所以$BM=\frac{120}{13}cm$。所以点B下降的高度为$PN + BM - 26=\frac{240}{13}+\frac{120}{13}-26=\frac{22}{13}(cm)$。]

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ AB = 5 $,$ AC = 4 $。
(1)如图①,若 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $,求 $ CD $ 的长；
(2)如图②,若直线 $ DE $ 垂直平分 $ AB $,求 $ CE $ 的长。

答案：
(1)$\frac{3}{2}$ [提示:过点D作$DH \perp AB$于点H,易证$BC = 3$,$\triangle BDC \cong \triangle BDH$,所以$BC = BH = 3$,$CD = CH$,所以$AH = 2$。设$CD = DH = x$,则$AD = 4 - x$。由$AD^{2}=DH^{2}+AH^{2}$,可得$(4 - x)^{2}=x^{2}+4$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CD=\frac{3}{2}$。]
(2)$\frac{7}{8}$ [提示:连接BE,由DE垂直平分AB,可得$BE = AE$。设$BE = AE = x$,则$CE = 4 - x$。由$BE^{2}=CE^{2}+BC^{2}$,可得$x^{2}=9+(4 - x)^{2}$,解得$x=\frac{25}{8}$,所以$CE = 4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$。]

12. 由于大风,山坡上的一棵树(甲树)被拦腰折断,如图,折断处为点 $ A $,其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部 $ C $ 处。已知 $ AB = 4 $ 米,$ BC = 13 $ 米,两棵树的水平距离为 $ 12 $ 米,求这棵树原来的高度。

答案：
如图,延长AB,过点C作$CD \perp AB$延长线于点D。由题意可得$BC = 13$米,$DC = 12$米,在$Rt\triangle CBD$中,因为$\angle D = 90^{\circ}$,所以$BD=\sqrt{BC^{2}-DC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5(米)$,所以$AD = AB + BD = 9$米。在$Rt\triangle ACD$中,因为$\angle D = 90^{\circ}$,所以$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15(米)$,所以$AC + AB = 15 + 4 = 19(米)$，所以这棵树原来的高度是19米。