《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

10. 如图,长方形 $ABCD$ 中,$\angle DAB = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$,$AD = BC = 8$,$AB = CD = 17$。点 $E$ 为射线 $DC$ 上的一个动点,$\triangle ADE$ 与 $\triangle AD'E$ 关于直线 $AE$ 对称,当 $\triangle AD'B$ 为直角三角形时,$DE$ 的长为______。

答案：
2或32 [提示:如图①，当点D'在线段BE上时，∠AD'B=90°。因为△ADE与△AD'E关于直线AE对称，所以△AD'E≌△ADE，所以∠AD'E=∠D=90°，∠AED=∠AED’，AD'=AD=BC=8。因为∠AD'B=90°，所以∠AD'E+∠AD'B=180°，所以B、D'、E三点共线。因为DC//AB，所以∠DEA=∠EAB，所以∠AEB=∠EAB，所以BE=AB=17。在Rt△AD'B中，BD'=$\sqrt{AB²−AD'²}$=$\sqrt{17²−8²}$=15，所以DE=D'E=BE−BD'=17−15=2。如图②，当点D'在EB延长线上时，∠AD'B=90°。同理可得，AB=BE=17，BD'=$\sqrt{AB²−AD'²}$=$\sqrt{17²−8²}$=15，所以DE=D'E=D'B+BE=17+15=32。综上所述，DE的长为2或32。]

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\triangle ABC$ 的高 $BH$、$CM$ 交于点 $P$。
(1)求证：$PB = PC$；
(2)若 $PB = 5$,$PH = 3$,求 $AB$。

答案：
(1)因为BH、CM是△ABC的高，所以∠BMC=∠CHB=90°。因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。在△MBC和△HCB中，因为∠BMC=∠CHB，∠MBC=∠HCB，BC=CB，所以△MBC≌△HCB(AAS)，所以∠MCB=∠HBC，所以PB=PC。
(2)因为PB=PC=5，PH=3，在Rt△PHC中，∠PHC=90°，所以CH=$\sqrt{CP²−PH²}$=$\sqrt{5²−3²}$=4。设AH=x，则AC=AB=x+4。在Rt△ABH中，∠AHB=90°，所以AB²=AH²+BH²，所以(x+4)²=x²+8²，解得x=6。所以AB=6+4=10。

12. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫“可爱三角形”。
(1)根据“可爱三角形”的定义,等边三角形一定是“可爱三角形”吗？
(2)若三角形的三边长分别是 $4$、$2\sqrt{6}$、$2\sqrt{5}$,则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由。
(3)若 $Rt\triangle ABC$ 是“可爱三角形”,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 5$。求 $AB$ 的长。

答案：
(1)是
(2)是
(3)由勾股定理可得:AC²+BC²=AB²，由它是“可爱三角形”，可分两种情况:①AC²+AB²=2BC²，即AC²+AB²=2(AB²−AC²)，解得AB=5$\sqrt{3}$(负值舍去);②AB²+BC²=2AC²，即AB²+AB²−AC²=2AC²，所以2AB²=3AC²，解得AB=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$(负值舍去)。综上所述，AB的长为5$\sqrt{3}$或$\frac{5\sqrt{6}}{2}$。