《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4mx + 4m^{2}-9 = 0 $。
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程有一个根为 $ - 1 $,求 $ m $ 的值。

答案： （1）$ \Delta =(-4m)^{2}-4× 1× (4m^{2}-9)=36＞0 $，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）把$ x=-1 $代入原方程，得$ 4m^{2}+4m-8=0 $，即$ m^{2}+m-2=0 $，解得$ m=1 $或-2。

12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m + 1 = 0 $。
(1)求证：无论 $ m $ 取何值,方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍,求 $ m $ 的值。

答案： （1）根据题意得$ \Delta =b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4(m+1)=m^{2}\geqslant 0 $，所以无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）原方程可化为$ (x-1)(x-m-1)=0 $，所以$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=m+1 $。由题意可得$ m+1=2 $或$ m+1=\frac{1}{2} $，所以$ m=1 $或$ -\frac{1}{2} $。

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2m - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ m $ 为正整数,且该方程的根都是整数,求 $ m $ 的值。

答案： （1）$ m＜\frac{5}{2} $；（2）因为m为正整数，所以$ m=1 $或2。当$ m=1 $时，方程为$ x^{2}-4x+1=0 $的根$ x=2\pm \sqrt{3} $不是整数；当$ m=2 $时，方程为$ x^{2}-4x+3=0 $的根$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=3 $，都是整数。综上所述，$ m=2 $。

14. 规定：对于任意实数 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $,有 $ [a,b]*[c,d]= ac - bd $,其中等式右边是通常的乘法和减法运算。如：$ [3,2]*[5,1]= 3×5 - 2×1 = 13 $。
(1)求 $ [-4,3]*[2,-6] $ 的值；
(2)已知关于 $ x $ 的方程 $ [x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0 $ 有两个实数根,求 $ m $ 的取值范围。

答案： （1）由题意知，原式$ =-4× 2-3× (-6)=-8+18=10 $；（2）由题意得$ x(mx+1)-m(2x-1)=0 $，整理得$ mx^{2}+(1-2m)x+m=0 $。因为方程有两个实数根，所以$ m\neq 0 $，且$ \Delta =(1-2m)^{2}-4m^{2}\geqslant 0 $，所以$ m\leqslant \frac{1}{4} $且$ m\neq 0 $。