《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

24. 已知$x + y = 3$,$xy = 6$,求$\sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{\dfrac{y}{x}}$的值。

答案： $\frac{\sqrt{6}}{2}$

25. 已知$a + \dfrac{1}{a} = 1 + \sqrt{10}$,求$a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}$的值。

答案： $9 + 2\sqrt{10}$

26. 若$x^{2} - x - 2 = 0$,求$\dfrac{x^{2} - x + 2\sqrt{3}}{(x^{2} - x)^{2} - 1 + \sqrt{3}}$的值。

答案： $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

27. 已知下列等式：
①$\sqrt{9 × 9 + 19} = 10$,②$\sqrt{99 × 99 + 199} = 100$,
③$\sqrt{999 × 999 + 1999} = 1000$,…
(1)根据上述等式的特点,请你写出第四个等式,并通过计算验证等式的正确性；
(2)观察上述等式的规律,请你写出第$n$个等式。

答案： （1）$\sqrt{9999×9999 + 19999}=\sqrt{9999×9999 + 10000 + 9999}=\sqrt{9999×(9999 + 1)+10000}=\sqrt{9999×10000 + 10000}=\sqrt{10000×(9999 + 1)} = 10000$。（2）第n个等式为$\sqrt{\underset{n个9}{\underbrace{999\cdots999}}×\underset{n个9}{\underbrace{999\cdots999}}+\underset{n个9}{\underbrace{1999\cdots999}}}=\underset{n个0}{\underbrace{1000\cdots000}}$。

28. 认真阅读下列解答过程,并解答下列各题。化简：$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$。
因为$3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$,
所以$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^{2}} = 1 + \sqrt{2}$。
化简下列各式：
(1)$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$； (2)$\sqrt{13 - 2\sqrt{42}}$。

答案： （1）$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2+2\sqrt{4×3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$（2）$\sqrt{13 - 2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-2\sqrt{6×7}+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$