《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 已知$x= \sqrt{3}+\sqrt{2}$,$y= \sqrt{3}-\sqrt{2}$,求：(1)$x^{2}-xy+y^{2}$；(2)$x^{3}y+xy^{3}$的值。

答案：
(1)$x^{2}-xy+y^{2}=(x-y)^{2}+xy=8+1=9$；
(2)$x^{3}y+xy^{3}=xy(x^{2}+y^{2})=10$

13. 定义：已知$a$、$b$都是实数,若$a + b = 3$,则称$a与b是关于3$的“实验数”。
(1) $4$与______是关于$3$的“实验数”,$\sqrt{2}$与______是关于$3$的“实验数”；
(2) 若$m= (1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$,判断$m与4-\sqrt{3}是否是关于3$的“实验数”,并说明理由。

答案：
(1)$-1$,$3-\sqrt{2}$；
(2)$m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”,理由如下:因为$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$,所以$m+4-\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}=3$,所以$m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”。

14. 阅读下列解题过程：
$\begin{aligned}\frac{1}{6\sqrt{5}+5\sqrt{6}}&= \frac{1}{\sqrt{6^{2}}×\sqrt{5}+\sqrt{5^{2}}×\sqrt{6}}= \frac{1}{\sqrt{6}×\sqrt{5}×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}\\&=\frac{1×(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{\sqrt{6}×\sqrt{5}×(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{6}}{6}。\end{aligned} $
请仿照上面所提供的思路和解法,化简：
$\frac{1}{3\sqrt{1}+1\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+…+\frac{1}{2025\sqrt{2023}+2023\sqrt{2025}}。$

答案： 原式$=\frac{1}{\sqrt{1× 3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{1}{\sqrt{3× 5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}+\frac{1}{\sqrt{5× 7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2023× 2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{1× 3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3× 5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5× 7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\cdots +\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{2023× 2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{1× 3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3× 5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2\sqrt{5× 7}}+\cdots +\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{2\sqrt{2025× 2023}}=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2023}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{45}\right)=\frac{22}{45}$。