《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

1 下列各式中,运算正确的是( )。

A.$(2\sqrt{10}-\sqrt{5})÷\sqrt{5}= 2\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{(-4)\cdot(-9)}= \sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}= (-2)\cdot(-3)= 6$
C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
D.$\sqrt{5^{2}-4^{2}}= \sqrt{5^{2}}-\sqrt{4^{2}}= 1$

答案： A

2 使等式 $\sqrt{\frac{3a - 1}{a - 2}} = \frac{\sqrt{3a - 1}}{\sqrt{a - 2}}$ 成立的实数 $a$ 的取值范围是( )。

A.$a\neq2$
B.$a\geqslant\frac{1}{3}$ 且 $a\neq2$
C.$a＞2$
D.$a\geqslant\frac{1}{3}$

答案： C

3 已知 $x - y = 6$,$\sqrt{x^{2}-xy}+\sqrt{xy - y^{2}} = 9$,则 $\sqrt{x^{2}-xy}-\sqrt{xy - y^{2}}$ 的值为( )。

A.3
B.4
C.$2\sqrt{6}$
D.15

答案： B [提示:设√(x²-xy)-√(xy-y²)=m，则9m=(√(x²-xy)+√(xy-y²))·(√(x²-xy)-√(xy-y²))=(√(x²-xy))²-(√(xy-y²))²=x²-2xy+y²=(x-y)²=36，所以m=√(x²-xy)-√(xy-y²)=4。]

4 计算：$a\sqrt{\frac{3}{a}}+\sqrt{9a}-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}}= $______。

答案： 3√a

5 若 $a = \sqrt{3}-\sqrt{2}$,则 $a+\frac{1}{a}= $______,$a^{2}+a^{-2}= $______。

答案： 2√3，10

6 已知 $(1+\sqrt{2})^{2}= a + b\sqrt{2}$($a$、$b$ 为有理数),则 $a + b= $______。

答案： 5

7 已知 $x+\frac{1}{x}= 7(0 ＜ x ＜ 1)$,则 $\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值为______。

答案： -√5

8 若两个最简二次根式 $\sqrt[x - y]{5}$ 与 $\sqrt{3x + y}$ 可以合并,则 $\sqrt{(x + y)(x - y)}$ 的值为______。

答案： √3

9 已知 $\sqrt{11}-1$ 的整数部分是 $a$,小数部分是 $b$,则 $(\sqrt{11}+a)(b + 1)$ 的值为______。

答案： 7

10 已知 $x= \frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$,$y= \frac{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}$,且 $19x^{2}+123xy + 19y^{2}= 1985$,则正数 $n$ 的值为______。

答案： 2 [提示:因为x=(√(n+1)-√n)/(√(n+1)+√n)=((√(n+1)-√n))²/((√(n+1)+√n)(√(n+1)-√n))=(√(n+1)-√n)²=2n+1-2√(n(n+1))，y=(√(n+1)+√n)/(√(n+1)-√n)=((√(n+1)+√n))²/((√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n))=(√(n+1)+√n)²=2n+1+2√(n(n+1))，所以x+y=4n+2，xy=1。将xy=1代入19x²+123xy+19y²=1985，得19x²+123+19y²=1985，化简得x²+y²=98。因为(x+y)²=x²+y²+2xy=98+2=100，所以x+y=10(舍负)，所以4n+2=10，解得n=2。]

11 计算：
(1) $6\sqrt{\frac{1}{6}}+\sqrt{24}+2\sqrt{\frac{3}{2}}$；
(2) $\frac{\sqrt{72}-\sqrt{32}}{\sqrt{8}}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$。

答案： （1）4√6 （2）-2