《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

8 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,且满足 $ BC = BD $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 交 $ AC $ 于点 $ E $。若 $ \triangle ABC $ 的周长为 36,$ \triangle ADE $ 的周长为 12,则 $ BC $ 的长度为 。

答案： 12

9 如图,在长方形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ AD $ 的中点,将 $ \triangle ABE $ 折叠后得到 $ \triangle GBE $,延长 $ BG $ 交边 $ CD $ 于点 $ F $。若 $ CF = 1 $,$ DF = 2 $,则 $ BF $ 的长是 。

答案： 5

10 如图,点 $ B $、$ C $、$ E $ 三点在同一条直线上,$ CD $ 平分 $ \angle ACE $,$ DB = DA $,$ DM \perp BE $ 于点 $ M $,若 $ AC = 2 $,$ BC = 1 $,则 $ CM = $ 。

答案： $\frac{1}{2}$ [提示：过点D作DH⊥AC于点H。因为CD平分∠ACE，所以∠HCD=∠MCD。因为DM⊥BE，DH⊥AC，所以∠DHC=∠DMC=90°，所以△DCH≌△DCM（AAS），所以DH=DM，CH=CM。又因为BD=AD，∠DHA=∠DMB=90°，所以Rt△DHA≌Rt△DMB（HL），所以AH=BM。所以CM=BM-BC=AH-BC=AC-CH-BC=AC-CM-BC，所以2CM=AC-BC=1，所以CM=$\frac{1}{2}$。]

11 如图,某游乐园有两个长度相等的滑梯 $ BC $ 与 $ EF $,滑梯 $ BC $ 的高 $ AC $ 与滑梯 $ EF $ 水平方向 $ DF $ 的长度相等,且 $ \angle DEF = 30^{\circ} $。安全部门针对滑梯类儿童游乐设备进行了安全范围内的考量,并作出了严格的安全界限：在滑行方向上,要求整体滑行区与水平面的夹角应不大于 $ 40^{\circ} $。请问：滑梯 $ BC $ 与滑梯 $ EF $ 是否符合规定？请说明理由。

答案： 根据题意可得∠BAC=∠EDF=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，因为$\left\{\begin{array}{l} BC=EF,\\ AC=DF,\end{array}\right. $所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），所以∠DEF=∠B=30°，所以∠F=90°-30°=60°，所以∠B＜40°，∠F＞40°。所以滑梯BC符合规定，滑梯EF不符合规定。

12 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 中,$ AB = DE $,$ AC = DC $,$ \angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ} $,$ AB $ 分别交边 $ CE $、$ DE $ 于点 $ F $、$ G $,$ BC $ 交边 $ DE $ 于点 $ H $。求证：$ EF = BH $。

答案： 因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB，即∠ACE=∠DCB。在Rt△ABC和Rt△DEC中，因为$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DC,\end{array}\right. $所以Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），所以BC=EC，∠A=∠D。在△ACF和△DCH中，因为$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠D,\\ AC=DC,\\ ∠ACE=∠DCB,\end{array}\right. $所以△ACF≌△DCH（ASA），所以FC=HC，所以EC-FC=BC-HC，即EF=BH。