《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

9. (2024·广安)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是(A)

A.$m ＜ 0$ 且 $m\neq -1$
B.$m\geq 0$
C.$m\leq 0$ 且 $m\neq -1$
D.$m ＜ 0$

答案： 9.A

【变式】 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$ 没有实数根，则 $k$ 的取值范围为k ＜ \frac{1}{2}.

答案： 【变式$】k ＜ \frac{1}{2}$

10. (本课时T9变式)若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-3x + 2 = 1$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围.

答案： 10.解：①当k = 0时，原方程为 - 3x + 2 = 1，解得$x = \frac{1}{3}.\therefore k = 0$符合题意；②当$k \neq 0$时，此时原方程为一元二次方程.化简，得$kx^{2} - 3x + 1 = 0.\therefore\Delta = ( - 3)^{2} - 4k \geq 0，$解得$k \leq \frac{9}{4}.\therefore k \leq \frac{9}{4}$且$k \neq 0.$综上所述，k的取值范围是$k \leq \frac{9}{4}.$

11. (2024·自贡)关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 2 = 0$ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 11.A

12. 若一元二次方程 $x^{2}-4x + a = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = (a - 4)x + a$ 的图象不经过(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 12.D

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 分别是三角形的三边长，且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + b)x^{2}+2cx + (a - b) = 0$ 有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状，并说明理由.

答案： 13.解：此三角形是直角三角形.理由如下：$\because$关于x的一元二次方程$(a + b)x^{2} + 2cx + (a - b) = 0$有两个相等的实数根，$\therefore\Delta = (2c)^{2} - 4(a + b)(a - b) = 0，$即$4(c^{2} - a^{2} + b^{2}) = 0.\therefore c^{2} - a^{2} + b^{2} = 0，$即$a^{2} = c^{2} + b^{2}.\because a,b,c$是三角形的三边长，$\therefore$此三角形是直角三角形。

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+\frac{1}{2}=0$.
(1) 若 $x = 1$ 是方程的一个解，写出 $a$，$b$ 满足的关系式.
(2) 当 $b = a + 1$ 时，利用根的判别式判断方程的根的情况.
(3) 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数 $a$，$b$ 的值，并求出此时方程的根.

答案： 14.解：$(1)\because x = 1$是方程的一个解，$\therefore a + b + \frac{1}{2} = 0.\therefore a + b = - \frac{1}{2}. (2)\Delta = b^{2} - 4a × \frac{1}{2} = b^{2} - 2a.\because b = a + 1,\therefore\Delta = (a + 1)^{2} - 2a = a^{2} + 2a + 1 - 2a = a^{2} + 1 ＞ 0.\therefore$方程有两个不相等的实数根$.(3)\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore b^{2} - 2a = 0，$即$b^{2} = 2a.\because a,b$为正整数，$\therefore$取$a = 2,b = 2.\therefore$方程为$2x^{2} + 2x + \frac{1}{2} = 0，$解得$x_{1} = x_{2} = - \frac{1}{2}.（$答案不唯一，合理即可）

15. 已知等腰三角形的一边长是3，另外两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为3或4.

答案： 15.3或4