《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

9. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 $ x^{2} - 10x + 21 = 0 $ 的两个根，则这个三角形的周长为(C)

A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13

答案： 9.C

10. 方程 $ 9(x + 1)^{2} - 4(x - 1)^{2} = 0 $ 的正确解法是(C)

A.直接开平方，得 $ 3(x + 1) = 2(x - 1) $
B.化为一般形式 $ 13x^{2} + 5 = 0 $
C.因式分解，得 $ [3(x + 1) + 2(x - 1)][3(x + 1) - 2(x - 1)] = 0 $
D.直接得 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 1 = 0 $

答案： 10.C

11. 已知正比例函数 $ y = - \frac{2}{7}x $ 的图象上有一个点 $ M $，点 $ M $ 的横坐标是方程 $ x^{2} + 5x - 14 = 0 $ 的根，则点 $ M $ 的纵坐标为2或$-\frac{4}{7}$。

答案： 11.2或$-\frac{4}{7}$

12. 方程 $ x^{2} = |x| $ 的根是0，-1，1。

答案： 12.0，-1，1

13. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ (3x + 2)^{2} = 4x^{2} $。
(2) $ 2(x - 3)^{2} = x^{2} - 9 $。

答案： 13. 解：
(1)$(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0,(3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x) = 0,(5x +$
$2)(x + 2) = 0.\therefore 5x + 2 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = -\frac{2}{5},x_2 = -2$.
(2)$2(x - 3)^2 - (x + 3)(x - 3) = 0,(x - 3)[2(x - 3) - (x + 3)] =$
$0,(x - 3)(x - 9) = 0.\therefore x - 3 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_1 = 3,x_2 = 9$.

14. (教材 P14 练习 T2 变式)如图，把小圆形场地的半径增加 6 m 得到大圆形场地，大圆形场地的面积是原来场地的 2 倍。求小圆形场地的半径。

答案： 14. 解：设小圆形场地的半径为$r$m，则大圆形场地的半径为$(r + 6)$m.
由题意，得$\pi(r + 6)^2 = 2\pi r^2$，解得$r_1 = 6 + 6\sqrt{2},r_2 = 6 - 6\sqrt{2}＜0$(舍
去).答：小圆形场地的半径为$(6 + 6\sqrt{2})$m.

【例】(1)将 $ x^{2} - 2x - 3 $ 分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图：

所以 $ x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $。
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为 $ x^{2} - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) $。
(2)根据乘法原理：若 $ ab = 0 $，则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $。
依照上面的方法和原理，解下列方程：
(1) $ x^{2} + 5x + 6 = 0 $。
(2) $ x^{2} - 7x + 10 = 0 $。
(3) $ x^{2} - x - 12 = 0 $。
(4) $ 3x^{2} - 2x - 1 = 0 $。

答案： 【例】 解：
(1)$(x + 2)(x + 3) = 0.\therefore x + 2 = 0$或$x + 3 = 0.\therefore x_1 = -2$，
$x_2 = -3$.
(2)$(x - 5)(x - 2) = 0.\therefore x - 5 = 0$或$x - 2 = 0.\therefore x_1 = 5,x_2$
$= 2$.
(3)$(x - 4)(x + 3) = 0.\therefore x - 4 = 0$或$x + 3 = 0.\therefore x_1 = 4,x_2 =$
$-3$.
(4)$(x - 1)(3x + 1) = 0.\therefore x - 1 = 0,3x + 1 = 0.\therefore x_1 = 1,x_2 = -\frac{1}{3}$.