《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 求一元二次方程 $3x^{2}-2x + 3 = 0$ 的根的判别式时，首先要确定 $a$，$b$，$c$ 的值，则下列选项中，正确的是(B)

A.$a = 3$，$b = 2$，$c = 3$
B.$a = 3$，$b = -2$，$c = 3$
C.$a = 3$，$b = 2$，$c = -3$
D.$a = -3$，$b = 2$，$c = 3$

答案： 1.B

2. (2023·吉林)一元二次方程 $x^{2}-5x + 2 = 0$ 根的判别式的值是(C)

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$

答案： 2.C

3. 一元二次方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根

答案： 3.A

4. 下列方程中，没有实数根的是(B)

A.$x^{2}-6x + 9 = 0$
B.$x^{2}-2x + 3 = 0$
C.$x^{2}-x = 0$
D.$(x + 2)(x - 1) = 0$

答案： 4.B

5. (教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1) $9x^{2}+6x + 2 = 0$.
(2) $x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$.
(3) $3x^{2}-x = 4x + 3$.

答案： $5.$解：$(1)\because a = 9,b = 6,c = 2,\therefore\Delta = b^{2} - 4ac = 6^{2} - 4×9×2 = - 36 ＜ 0.$　　
$\therefore$此方程无实数根。　　
$(2)$　　
$\because a = 1,b = - 2\sqrt{2},c = 2,$　　
$\therefore\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2\sqrt{2})^{2} - 4×1×2 = 0.$　　
$\therefore$此方程有两个相等的实数根$.$　　
$(3)$化为一般形式为$3x^{2} - 5x - 3 = 0.$　　
$\because a = 3,b = - 5,c = - 3,$　　
$\therefore\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 5)^{2} - 4×3×( - 3) = 61 ＞ 0.\therefore$此方程有两个不相等的实数根。　　

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + m = 0$.
(1) 根的判别式 $\Delta = b^{2}-4ac=$ 16 - 4m.
(2) 当 $m$ ＜ 4 时，方程有两个不相等的实数根.
(3) 当 $m$ = 4 时，方程有两个相等的实数根.
(4) 当 $m$ ＞ 4 时，方程无实数根.

答案： 6.
(1)16 - 4m
(2)＜ 4
(3)= 4
(4)＞ 4

7. (2024·河南)若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为\frac{1}{2}.

答案： $7.\frac{1}{2}$

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+4x + 3m - 2 = 0$ 有实数根.
(1) 若 $x = 0$ 是方程的一个根，求 $m$ 的值.
(2) 求 $m$ 的取值范围.

答案： 8.解：
(1)把x = 0代入原方程，得3m - 2 = 0，解得$m = \frac{2}{3}.(2)$根据题意，得$\Delta = 4^{2} - 4(3m - 2) \geq 0，$解得$m \leq 2.$