《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 在 20 世纪 70 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了重大成果。如图，利用黄金分割法，作 $ EF $ 将矩形窗框 $ ABCD $ 分为上下两部分，其中 $ E $ 为边 $ AB $ 的黄金分割点，即 $ BE^{2}=AE\cdot AB $。已知 $ AB $ 的长为 2 米，则线段 $ BE $ 的长为$(\sqrt{5}-1)$米。

答案： 1.$(\sqrt{5}-1)$

2. 小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整条线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整条线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数，其数值为 $ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618 $。”
探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在。如图 1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割点，如：$ \frac{MN}{NB}=\frac{BN}{BM}=\frac{BM}{BE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $。
问题解决：
(1) 如图 2，已知线段 $ AB $ 的长为 1，线段 $ AB $ 上的点 $ A_{1} $ 满足关系式 $ AA_{1}^{2}=A_{1}B\cdot AB $。计算 $ AA_{1} $ 的长度，并判断线段 $ AA_{1} $ 的长与线段 $ AB $ 的长的比值是否为黄金分割数。
(2) 如图 2，若在线段 $ AA_{1} $ 上再取一个点 $ A_{2} $，满足 $ AA_{2}^{2}=A_{2}A_{1}\cdot AA_{1} $；在线段 $ AA_{2} $ 上取一点 $ A_{3} $，满足 $ AA_{3}^{2}=A_{3}A_{2}\cdot AA_{2}\cdots\cdots $以此类推，在线段 $ AA_{n - 1} $ 上取一点 $ A_{n} $，满足 $ AA_{n}^{2}=A_{n}A_{n - 1}\cdot AA_{n - 1} $。直接写出 $ AA_{n} $ 的长度。

答案： 2.解：
(1)
∵线段$AB$的长为$1$，线段$AB$上的点$A_{1}$满足关系式$AA_{1}^{2}=A_{1}B\cdot AB$，设$AA_{1}=x$，则$A_{1}B=1 - x$，
∴$x^{2}=(1 - x)×1$，解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)。
∴$AA_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$AA_{1}÷ AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∴线段$AA_{1}$的长与线段$AB$的长的比值为黄金分割数。
(2)由
(1)可得，$AA_{2}$的长是$AA_{1}$的长的一个黄金分割数，即$AA_{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AA_{1}$，$AA_{3}$的长是$AA_{2}$的长的一个黄金分割数，即$AA_{3}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AA_{2}\cdots\cdots$以此类推，$AA_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AA_{n - 1}$。由
(1)可得，$AA_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AA_{n}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{n - 1}AA_{1}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{n}$。