《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. (教材 P17 习题 T7 变式)不解方程,求下列各方程的两个根 $ x_1,x_2 $ 之和与 $ x_1,x_2 $ 之积:
(1) $ 2x^2 + 5x - 1 = 0 $: $ x_1 + x_2 = $$-\frac{5}{2}$, $ x_1x_2 = $$-\frac{1}{2}$.
(2) $ -x^2 + 6x - 2 = 0 $: $ x_1 + x_2 = $6, $ x_1x_2 = $2.
(3) $ 4x^2 + 1 = 7x $: $ x_1 + x_2 = $$\frac{7}{4}$, $ x_1x_2 = $$\frac{1}{4}$.
(4) $ 3x^2 - 1 = 0 $: $ x_1 + x_2 = $0, $ x_1x_2 = $$-\frac{1}{3}$.

答案： 1.
(1)$-\frac{5}{2} -\frac{1}{2}$
(2)$6 \ 2$
(3)$\frac{7}{4} \ \frac{1}{4}$
(4)$0 \ -\frac{1}{3}$

2. 已知 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x - k - 1 = 0 $ 的两个根,且 $ x_1x_2 = -3 $,则 $ k $ 的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.B

3. (2023·遂宁)若 $ a,b $ 是一元二次方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的两个实数根,则代数式 $ a + b - ab $ 的值为2.

答案： 3.2

4. 已知 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 5x - 2 = 0 $ 的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1) $ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 $.
(2) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $.

答案： 4.解：由题可知,$x_1 +x_2 =5$,$x_1x_2 = - 2$。
(1)$x_1^2x_2 +x_1x_2^2 =x_1x_2(x_1 +x_2) = - 2×5 = - 10$。
(2)$\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} =\frac{x_1 +x_2}{x_1x_2} =\frac{5}{-2} = - \frac{5}{2}$。

5. (2023·岳阳)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_1,x_2 $,且 $ x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2 $,则 $ m = $3.

答案： 5.3

6. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 -2 和 -5. 则原来的方程是 (B)

A.$ x^2 + 6x + 5 = 0 $
B.$ x^2 - 7x + 10 = 0 $
C.$ x^2 - 5x + 2 = 0 $
D.$ x^2 - 6x - 10 = 0 $

答案： 6.B

7. 已知方程 $ x^2 + mx + 3 = 0 $ 的一个根是 1,则它的另一个根是3.

答案： 7.3

8. (2023·乐山改编)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 8x + m = 0 $ 的两个根为 $ x_1,x_2 $,且 $ x_1 = 3x_2 $,则 $ m $ 的值为12.

答案： 8.12

9. (2023·南充)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,方程总有实数根.
(2)若 $ x_1,x_2 $ 是方程的两个实数根,且 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2} $,求 $ m $ 的值.

答案： 9.解：
(1)证明：$\because \Delta =[ - (2m - 1)]^2 - 4×1×(-3m^2 + m) =4m^2 - 4m + 1 + 12m^2 - 4m =16m^2 - 8m + 1 = (4m - 1)^2\geqslant0$，$\therefore$无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2)由题意知,$x_1 +x_2 =2m - 1$,$x_1x_2 = - 3m^2 + m$。
$\therefore \frac{x_1}{x_2} +\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2 +x_2^2}{x_1x_2} =\frac{(x_1 +x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{(x_1 +x_2)^2}{x_1x_2} - 2 = - \frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = - \frac{5}{2}$。整理，得$5m^2 - 7m + 2 = 0$，解得$m = 1$或$m = \frac{2}{5}$。

10. 已知 $ a,b $ 分别满足 $ a^2 - 6a + 4 = 0,b^2 - 6b + 4 = 0 $,则 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 的值是2.

答案： 10.2