《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

11. 如果一个一元二次方程的二次项是 $2x^{2}$，配方后整理得 $(x-\frac{1}{2})^{2}=1$，那么原方程的一次项和常数项分别是(C)

A.$-x$，$-\frac{3}{4}$
B.$-2x$，$-\frac{1}{2}$
C.$-2x$，$-\frac{3}{2}$
D.$x$，$-\frac{3}{2}$

答案： 11.C

12. 规定：$a\otimes b=(a + b)b$. 如：$2\otimes3=(2 + 3)×3 = 15$. 若 $2\otimes x = 3$，则 $x=$1或 - 3.

答案： 12.1或 - 3

13. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}-6x + 1 = 4x - 8$.
(2) $x(x - 5)=x - 10$.

答案： 13.解：
(1)x² - 10x = -9,x² - 10x + 25 = -9 + 25,即(x - 5)² = 16.
∴x - 5 = ±4.
∴x₁ = 9,x₂ = 1.
(2)x² - 5x = x - 10,x² - 6x = -10,x² - 6x + 9 = -10 + 9,即(x - 3)² = -1.
∵ -1 ＜ 0.
∴原方程无实数根.

14. 已知方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 可以通过配方写成 $(x - n)^{2}=6$ 的形式，求方程 $x^{2}+8x + m = 6$ 的解.

答案： 14.解：
∵(x - n)² = 6,
∴x² - 2nx + n² - 6 = 0.
∵方程x² - 8x + m = 0可以通过配方写成(x - n)² = 6的形式，
∴$\begin{cases} -2n = -8, \\ n² - 6 = m,\end{cases}$解得$\begin{cases} m = 10, \\ n = 4.\end{cases}$把m = 10代入x² + 8x + m = 6,得x² + 8x + 10 = 6,即x² + 8x = -4.配方，得x² + 8x + 16 = -4 + 16,即(x + 4)² = 12.解得x₁ = -4 + 2√3,x₂ = -4 - 2√3.

【例】填空：
(1) $x^{2}+4x + 8=(x+$2$)^{2}+$4. $\because$ 不论 $x$ 取何值，$(x+$2$)^{2}$ 总是非负数，即 $(x+$2$)^{2}\geq0$，$\therefore(x+$2$)^{2}+$2$\geq$4. $\therefore$ 当 $x=$-2时，$x^{2}+4x + 8$ 有最小值为4. $\therefore$ 原式子的值必为正数. (填“正”或“负”)
(2) $-x^{2}+2x + 4=-(x-$1$)^{2}+$5. $\because$ 不论 $x$ 取何值，$-(x-$5$)^{2}$ 总是非正数，即 $-(x-$1$)^{2}\leq0$，$\therefore-(x-$1$)^{2}+$1$\leq$5. $\therefore$ 当 $x=$1时，$-x^{2}+2x + 4$ 有最大值为5.

答案： 【例】
(1)2 4 2 2 2 2 4 4 -2 4 正
(2)1 5 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论 $a$ 为何实数，多项式 $a^{2}+3a + 5$ 的值一定是(A)

A.正数
B.负数
C.$0$
D.不能确定

答案： 1.A

2. 对于代数式 $-3x^{2}-6x + 1$，当 $x=$-1时，代数式有最大(填“大”或“小”)值，其值为4.

答案： 2.-1 大 4

3. 设 $a$，$b$ 为实数，求代数式 $a^{2}+b^{2}-4a - 2b + 6$ 的最小值.

答案： 3.解：a² + b² - 4a - 2b + 6 = a² - 4a + 4 + b² - 2b + 1 + 1 = (a - 2)² + (b - 1)² + 1.
∵(a - 2)² ≥ 0,(b - 1)² ≥ 0,
∴(a - 2)² + (b - 1)² + 1 ≥ 1.
∴代数式a² + b² - 4a - 2b + 6的最小值为1.