《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，过点 $ A $ 的直线 $ l $ 与抛物线交于点 $ C $，其中点 $ A $ 的坐标是 $ (1,0) $，点 $ C $ 的坐标是 $ (4,3) $。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 求直线 $ AC $ 的解析式。
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 $ D $，使 $ \triangle BCD $ 的周长最小？若存在，求出点 $ D $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 1.解：
(1)
∵$y = ax^{2} + bx + 3$经过点$A(1,0)$，$C(4,3)$，
∴$\begin{cases} a + b + 3 = 0, \\ 16a + 4b + 3 = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = - 4. \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y = x^{2} - 4x + 3$.
(2)设直线$AC$的解析式为$y = kx + h$.将$A$，$C$两点的坐标代入，得$\begin{cases} k + h = 0, \\ 4k + h = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 1, \\ h = - 1. \end{cases}$
∴直线$AC$的解析式为$y = x - 1$.
(3)存在.
∵$y = x^{2} - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$，
∴$B(3,0)$，抛物线的对称轴为直线$x = 2$.
∵$BC$的长度不变，
∴当$BD + DC$最小时，$\bigtriangleup BCD$的周长最小.
∵点$A$，$B$关于抛物线的对称轴对称，
∴当点$D$为对称轴与$AC$的交点时，$BD + DC$最小，即$\bigtriangleup BCD$的周长最小.
在$y = x - 1$中，当$x = 2$时，$y = 1.\therefore D(2,1)$.
∴当点$D$的坐标为$(2,1)$时，$\bigtriangleup BCD$的周长最小.

2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 交 $ x $ 轴于 $ A(4,0) $，$ B $ 两点，交 $ y $ 轴于点 $ C(0,4) $。
(1) 求抛物线解析式中 $ b $，$ c $ 的值。

(2) 点 $ P $ 是直线 $ AC $ 上方抛物线上的一动点，过点 $ P $ 作 $ PE // y $ 轴交 $ AC $ 于点 $ E $，作 $ PF // AC $ 交 $ x $ 轴于点 $ F $，求 $ PE + \frac{\sqrt{2}}{2}PF $ 的最大值及此时点 $ P $ 的坐标。

答案： 2.解：
(1)将$A(4,0)$，$C(0,4)$代入$y = - \frac{1}{2}x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases} - 8 + 4b + c = 0, \\c = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 1, \\c = 4. \end{cases}$
(2)延长$PE$交$x$轴于点$H$.
∵$A(4,0)$，$C(0,4)$，
∴直线$AC$的解析式为$y = - x + 4$，$OC = OA$.
∵$PE// y$轴，
∴$PE\bot x$轴.
∵$OC = OA$，$\angle AOC = 90^{\circ}$，
∴$\angle OAC = 45^{\circ}$.
∵$PF// AC$，
∴$\angle OFP = 45^{\circ}$.
∴$PH = \frac{\sqrt{2}}{2}PF$.
∴$PE + \frac{\sqrt{2}}{2}PE = PE + PH$.
(1)可知，抛物线的解析式为$y = - \frac{1}{2}x^{2} + x + 4$.设$P(p, - \frac{1}{2}p^{2} + p + 4)(0 ＜ p ＜ 4)$，则$E(p, - p + 4)$，$H(p,0)$.
∴$PE = - \frac{1}{2}p^{2} + p + 4 - ( - p + 4) = - \frac{1}{2}p^{2} + 2p$，$PH = - \frac{1}{2}p^{2} + p + 4$.
∴$PE + \frac{\sqrt{2}}{2}PE = PE + PH = - \frac{1}{2}p^{2} + 2p - \frac{1}{2}p^{2} + p + 4 = - p^{2} + 3p + 4 = - (p - \frac{3}{2})^{2} + \frac{25}{4}$.
∴$PE + \frac{\sqrt{2}}{2}PF$的最大值为$\frac{25}{4}$，此时点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{35}{8})$.

3. 如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 8 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ OA = 6 $，$ OB = \frac{4}{3} $，$ P $ 为 $ x $ 轴下方的抛物线上一点。
(1) 求抛物线的函数解析式。

(2) 连接 $ AP $，$ CP $，求四边形 $ AOCP $ 面积的最大值。

答案： 3.解：
(1)当$x = 0$时，$y = - 8$，
∴$C(0, - 8)$.
∵$OA = 6$，$OB = \frac{4}{3}$，
∴$A( - 6,0)$，$B(\frac{4}{3},0)$.设抛物线的解析式为$y = a(x + 6)(x - \frac{4}{3})$，将点$C(0, - 8)$代入，得$6 × ( - \frac{4}{3})a = - 8$，$a = 1$.
∴抛物线的解析式为$y = (x + 6)(x - \frac{4}{3}) = x^{2} + \frac{14}{3}x - 8$.
(2)连接$OP$.设$P(t,t^{2} + \frac{14}{3}t - 8)$，则$S_{四边形AOCP} = S_{\bigtriangleup AOP} + S_{\bigtriangleup OCP} = \frac{1}{2} × 6 × ( - t^{2} - \frac{14}{3}t + 8) + \frac{1}{2} × 8 × ( - t) = - 3t^{2} - 14t + 24 - 4t = - 3t^{2} - 18t + 24 = - 3(t + 3)^{2} + 51$.
∴当$t = - 3$时，$S_{四边形AOCP}$最大，为$51$.