《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

12. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则下列说法错误的是(D)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ c ＞ 0 $
C.$ a + b + c ＞ 0 $
D.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

答案： 12.D

13. 【转化思想】如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在抛物线 $ y = x^2 - 2x + 4 $ 上运动. 过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $，以 $ AC $ 为对角线作矩形 $ ABCD $，连接 $ BD $，则对角线 $ BD $ 的最小值为3.

答案： 13.3

14. 新考向 新定义问题 定义：由 $ a $，$ b $ 构造的二次函数 $ y = ax^2 + (a - b)x - b $ 叫做一次函数 $ y = ax - b $ 的“滋生函数”，一次函数 $ y = ax - b $ 叫做二次函数 $ y = ax^2 + (a - b)x - b $ 的“本源函数”($ a $，$ b $ 为常数，且 $ a \neq 0 $). 若一次函数 $ y = ax - b $ 的“滋生函数”是 $ y = ax^2 - 4x + a + 2 $，则二次函数 $ y = ax^2 - 4x + a + 2 $ 的“本源函数”是$y=-3x-1$.

答案： 14.$y=-3x-1$

15. 如图，已知二次函数 $ y = x^2 + ax + 3 $ 的图象经过点 $ P(-2,3) $.
(1) 求 $ a $ 的值.
(2) 点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数图象上.
①当 $ m = 2 $ 时，求 $ n $ 的值.
②若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围.

答案： 15.解：
(1)把$P(-2,3)$代入$y=x^2+ax+3$,得$3=(-2)^2-2a+3$，解得$a=2$.
(2)①把$x=2$代入$y=x^2+2x+3$，得$y=11$，$\therefore$当$m=2$时，$n=11$.②$2\leq n＜11$.

16. 新考向 推理能力 (2024·浙江) 已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $（$ b $，$ c $ 为常数）的图象经过点 $ A(-2,5) $，对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $.
(1) 求二次函数的解析式.
(2) 若点 $ B(1,7) $ 向上平移2个单位长度，向左平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度后，恰好落在 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象上，求 $ m $ 的值.
(3) 当 $ -2 \leq x \leq n $ 时，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \frac{9}{4} $，求 $ n $ 的取值范围.

答案： 16.解：
(1)$\because$对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$，$\therefore b=1.\therefore y=x^2+x+c$.又$\because$函数图象经过点$A(-2,5)$，$\therefore4-2+c=5$，解得$c=3.\therefore$二次函数的解析式为$y=x^2+x+3$.
(2)由题意可得，平移后点$B$的坐标为$(1-m,9)$.将$(1-m,9)$代入$y=x^2+x+3$，得$9=(1-m)^2+(1-m)+3$，解得$m=4$或$m=-1$(舍去).$\therefore m=4$.
(3)$y=x^2+x+3=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$.分三种情况讨论：①当$n＜-\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$，解得$n_1=n_2=-\frac{1}{2}$，不符合题意，舍去.②当$-\frac{1}{2}\leq n\leq1$时，最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}-\frac{9}{4}$，符合题意；③当$n＞1$时，最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}-\frac{9}{4}$，解得$n_1=1,n_2=-2$，不符合题意，舍去.综上所述，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leq n\leq1$.