《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. (2024·南充阆中市期中)下列关于$x$的方程中,一定是一元二次方程的为(B)

A.$ax^{2}+bx+c=0$
B.$x^{2}-5=2x$
C.$x^{2}+3x-1=y^{2}+5$
D.$x^{2}+\frac{1}{x}=0$

答案： 1.B

2. 已知一元二次方程$5x^{2}-3=2x$的二次项系数是5,常数项为-3,则一次项系数是-2.

答案： 2.-2

3. (2024·南充)已知$m$是方程$x^{2}+4x-1=0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为-4.

答案： 3.-4

4. (2024·泸州期末)方程$(x-2)^{2}=x-2$的解是(A)

A.$x_{1}=2,x_{2}=3$
B.$x_{1}=2,x_{2}=1$
C.$x=2$
D.$x=3$

答案： 4.A

5. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023=0$,将它转化为$(x+a)^{2}=b$的形式,则$a^{b}$的值为(D)

A.-2024
B.2024
C.-1
D.1

答案： 5.D

6. 解方程:
(1)$x^{2}+4x=3$.
(2)$x^{2}-2\sqrt{2}x-3=0$.
(3)$x^{2}-16=2(x+4)$.

答案： 6. 解：
(1)$x^{2}+4x+4=3+4$，即$(x+2)^{2}=7$，$\therefore x+2=\pm \sqrt{7}$，$\therefore x_{1}=-2+\sqrt{7}$，$x_{2}=-2-\sqrt{7}$。
(2)$\because a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-3$，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-3)=20＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{5}}{2×1}=\sqrt{2}\pm\sqrt{5}$，$\therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{5}$。
(3)$(x + 4)(x - 4)-2(x + 4)=0$，$(x + 4)(x - 4 - 2)=0$，即$(x + 4)(x - 6)=0$，$\therefore x + 4=0$或$x - 6=0$，$\therefore x_{1}=-4$，$x_{2}=6$。

7. (2023·泸州)关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1=0$的根的情况是(C)

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数$a$的取值有关

答案： 7.C

8. (2024·南充阆中市期中)若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+x-1=0$有实数根,则$a$的取值范围是(A)

A.$a\geqslant -\frac{1}{4}$且$a\neq 0$
B.$a\leqslant -\frac{1}{4}$
C.$a\geqslant -\frac{1}{4}$
D.$a\leqslant -\frac{1}{4}$且$a\neq 0$

答案： 8.A

9. (2024·泸州江阳区三模)已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}+bx-3=0$的两根,且满足$x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}=5$,那么$b$的值为(A)

A.4
B.-4
C.3
D.-3

答案： 9.A

10. (2024·南充阆中市期中)若$m,n$是方程$x^{2}+2x-2026=0$的两个实数根,则$m^{2}+3m+n$的值为2024.

答案： 10.2024

11. (2024·南充模拟)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x-k+1=0$有两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=k^{2}-1$,求$k$的值.

答案： 11. 解：
(1)$\because$一元二次方程有两个实数根，$\therefore \Delta =(-4)^{2}-4×1×(-k + 1)=4k + 12\geqslant0$，解得$k\geqslant - 3$。
(2)$\because x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=-k + 1$，$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=x_{1}x_{2}[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]$，$\therefore (-k + 1)[4^{2}-2(-k + 1)]=k^{2}-1$，解得$k = 1$或$k = - 5$，$\because k\geqslant - 3$，$\therefore k = - 5$不符合题意，$\therefore k = 1$。