《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

4. (2024·南充节选) 已知抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 如图，抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ P $ 为线段 $ OC $ 上一点 (不与端点重合)，直线 $ PA $，$ PB $ 分别交抛物线于点 $ E $，$ D $，设 $ \triangle PAD $ 的面积为 $ S_{1} $，$ \triangle PBE $ 的面积为 $ S_{2} $，求 $ \frac{S_{1}}{S_{2}} $ 的值。

答案： 4.解：
(1)把$A( - 1,0)$，$B(3,0)$代入$y = - x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases} - 1 - b + c = 0, \\ - 9 + 3b + c = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 2, \\c = 3. \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y = - x^{2} + 2x + 3$.
(2)设$P(0,p)$，直线$AP$的解析式为$y = k_{1}x + b_{1}$，把$A( - 1,0)$，$P(0,p)$代入，得$\begin{cases} - k_{1} + b_{1} = 0, \\b_{1} = p, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_{1} = p, \\b_{1} = p. \end{cases}$
∴直线$AP$的解析式为$y = px + p$.联立$\begin{cases} y = px + p, \\y = - x^{2} + 2x + 3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = - 1, \\y = 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 3 - p, \\y = - p^{2} + 4p. \end{cases}$
∴$E(3 - p, - p^{2} + 4p)$.同理，得$D(\frac{p - 3}{3}, - \frac{p^{2}}{9} + \frac{4p}{3})$.$\therefore S_{1} = S_{\bigtriangleup ABD} - S_{\bigtriangleup ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot (y_{D} - y_{P}) = 2( - \frac{p^{2}}{9} + \frac{4p}{3} - p) = \frac{2}{9}(3p - p^{2})$，$S_{2} = S_{\bigtriangleup ABE} - S_{\bigtriangleup ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot (y_{E} - y_{P}) = 2( - p^{2} + 4p - p) = 2(3p - p^{2})$.$\therefore\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{2}{9}(3p - p^{2})}{2(3p - p^{2})} = \frac{1}{9}$.

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $，$ B(4,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求这条抛物线的解析式。
(2) 在 $ x $ 轴上是否存在点 $ E $，使得以 $ E $，$ B $，$ C $ 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点 $ E $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 5.解：
(1)设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)(x - 4) = a(x^{2} - 3x - 4)$.
∵$C(0, - 4)$，
∴$- 4a = - 4$，解得$a = 1$.
∴抛物线的解析式为$y = x^{2} - 3x - 4$.
(2)存在.由抛物线的解析式可知，$C(0, - 4)$.设$E(x,0)$，则$BC^{2} = 32$，$BE^{2} = (x - 4)^{2}$，$CE^{2} = x^{2} + 16$.由题意可知，$\angle CBE\neq90^{\circ}$.当$\angle BEC = 90^{\circ}$时，$32 = (x - 4)^{2} + x^{2} + 16$，解得$x = 0$(不合题意，舍去)或$x = 4$，
∴$E(0,0)$；当$\angle ECB = 90^{\circ}$时，$(x - 4)^{2} = x^{2} + 16 + 32$，解得$x = - 4$.
∴$E( - 4,0)$.综上所述，点$E$的坐标为$(0,0)$或$( - 4,0)$.

6. (2023·南充节选) 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 点 $ P $ 在抛物线上，点 $ Q $ 在 $ x $ 轴上，以 $ B $，$ C $，$ P $，$ Q $ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 6.解：
(1)由题意，得抛物线的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3) = a(x^{2} - 2x - 3)$，
∴$- 3a = 3$，解得$a = - 1$.
∴抛物线的解析式为$y = - x^{2} + 2x + 3$.
(2)设点$P$的坐标为$(m, - m^{2} + 2m + 3)$，点$Q$的坐标为$(n,0)$.当$BC$或$BP$为对角线时，由中点坐标公式，得$3 = - m^{2} + 2m + 3$，解得$m = 0$(舍去)或$m = 2$.
∴$P(2,3)$；当$BQ$为对角线时，同理可得$0 = - m^{2} + 2m + 3 + 3$，解得$m = 1 \pm \sqrt{7}$.
∴点$P$的坐标为$(1 + \sqrt{7}, - 3)$或$(1 - \sqrt{7}, - 3)$.综上所述，点$P$的坐标为$(2,3)$或$(1 + \sqrt{7}, - 3)$或$(1 - \sqrt{7}, - 3)$.