《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

13. (2024·泸州龙马潭区期中)如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ AB=4 $，$ P $ 为对角线 $ BD $ 上一动点，$ F $ 为射线 $ AD $ 上一点.若 $ AP=PF $，则 $ \triangle APF $ 的面积最大值为4.

答案： 13.4

14. (2024·南充模拟)南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近 $ 2000 $ 年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品.每年 $ 10 $ 月底至第二年 $ 4 $ 月，总会吸引大批游客前来品尝.当地某商家为回馈顾客，将标价为 $ 20 $ 元/$ kg $ 的某品牌柑橘降价销售 $ 7 $ 天后，第二次降价到 $ 16.2 $ 元/$ kg $ 又销售了 $ 7 $ 天，且两次降价的百分率相同.设销售时间为 $ x $（天）（$ x $ 为正整数），日销量为 $ y(kg) $，日储存及损耗费为 $ z $（元），$ y $ 与 $ x $ 满足函数关系 $ y=\begin{cases}105-3x(1\leqslant x\leqslant 7),\\120-x(8\leqslant x\leqslant 14);\end{cases}z $ 与 $ x $ 满足函数关系 $ z=\begin{cases}40+3x(1\leqslant x\leqslant 7),\\3x^{2}-68x+300(8\leqslant x\leqslant 14).\end{cases} $（注：利润 $ = $ 销售毛利润 $ - $ 储存及损耗费）
(1)求此品牌柑橘每次降价的百分率.
(2)已知此品牌柑橘进价为 $ 8.2 $ 元/$ kg $，设销售该柑橘的日利润为 $ w $（元），求 $ w $ 与 $ x(1\leqslant x\leqslant 14) $ 之间的函数解析式，并求第几天时销售利润最大，最大利润为多少元？
(3)在(2)的条件下，求这 $ 14 $ 天中有多少天的利润不低于 $ 948 $ 元.

答案： 14.解：
(1)设每次降价的百分率为$a$．根据题意，得$20(1 - a)^{2}=16.2$，解得$a_{1}=0.1 = 10\%$，$a_{2}=1.9$(不符合题意，舍去)．答：此品牌柑橘每次降价的百分率为10%．
(2)由题意，得第一次降价后的价格为$20×(1 - 10\%)=18$(元/kg)．当$1≤x≤7$时，$w=(18 - 8.2)(105 - 3x)-(40 + 3x)=-32.4x + 989$；当$8≤x≤14$时，$w=(16.2 - 8.2)(120 - x)-(3x^{2}-68x + 300)=-3x^{2}+60x + 660=-3(x - 10)^{2}+960$．
∵当$1≤x≤7$时，$w=-32.4x + 989$．
∵$-32.4＜0$，
∴$w$随$x$的增大而减小．
∴当$x = 1$时，$w_{最大}=-32.4×1 + 989 = 956.6$；当$8≤x≤14$时，$w=-3(x - 10)^{2}+960$．
∵$-3＜0$，
∴当$x = 10$时，$w_{最大}=960$．
∵$956.6＜960$，
∴当$x = 10$时，即第10天利润最大，最大利润为960元．
(3)①当$1≤x≤7$时，$w=-32.4x + 989≥948$，解得$x≤\frac {205}{162}$．
∵$1≤x≤\frac {205}{162}$，又$x$为正整数，
∴$x = 1$，故此时有1天利润不低于948元；②当$8≤x≤14$时，$w=-3(x - 10)^{2}+960 = 948$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$．
∴当$8≤x≤12$时，$w≥948$．
∴$x = 8,9,10,11,12$，故此时有5天利润不低于948元．
∴$1 + 5 = 6$(天)．综上可知，共有6天利润不低于948元．

15. 新考向 新定义问题 (2023·巴中)规定：如果两个函数的图象关于 $ y $ 轴对称，那么称这两个函数互为“$ Y $ 函数”.例如：函数 $ y=x+3 $ 与 $ y=-x+3 $ 互为“$ Y $ 函数”.若函数 $ y=\frac{k}{4}x^{2}+(k-1)x+k-3 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点，则它的“$ Y $ 函数”图象与 $ x $ 轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).

答案： 15.(3,0)或(4,0)