《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

10. 如图，把 $ Rt \triangle ABC $ 放置在平面直角坐标系中，$ \angle C = 90^{\circ} $，已知点 $ A $ 是 $ x $ 轴上的定点，点 $ B $ 的坐标为 $ (0,2) $。将 $ Rt \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $，旋转后点 $ C $ 恰好与点 $ O $ 重合，则旋转前点 $ C $ 的坐标是A$(\sqrt{3},3)$。

答案： 10.A$(\sqrt{3},3)$

11. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，$ \triangle ABC $ 的顶点都在格点上。
(1) 将 $ \triangle ABC $ 先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $，请画出 $ \triangle A_1B_1C_1 $。
(2) 请画出 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 绕点 $ O $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 后的图形 $ \triangle A_2B_2C_2 $。
(3) $ P $ 是 $ x $ 轴上一动点，则 $ PB + PC $ 的最小值是$3\sqrt{2}$。请在图中画出点 $ P $ 的位置，保留作图痕迹。

答案： 1. （1）
已知$A(-3,5)$，$B(-4,1)$，$C(-1,2)$。
根据平移规律“上加下减，右加左减”，向上平移$1$个单位长度，再向右平移$5$个单位长度：
$A_1$的坐标为$(-3 + 5,5 + 1)=(2,6)$；
$B_1$的坐标为$(-4 + 5,1 + 1)=(1,2)$；
$C_1$的坐标为$(-1 + 5,2 + 1)=(4,3)$。
然后在平面直角坐标系中描出$A_1(2,6)$，$B_1(1,2)$，$C_1(4,3)$，连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）
根据旋转$180^{\circ}$的性质，点$(x,y)$绕原点$O$旋转$180^{\circ}$后的坐标为$(-x,-y)$。
已知$A_1(2,6)$，$B_1(1,2)$，$C_1(4,3)$，则$A_2$的坐标为$(-2,-6)$，$B_2$的坐标为$(-1,-2)$，$C_2$的坐标为$(-4,-3)$。
在平面直角坐标系中描出$A_2(-2,-6)$，$B_2(-1,-2)$，$C_2(-4,-3)$，连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$C_2A_2$，得到$\triangle A_2B_2C_2$。
3. （3）
作点$C$关于$x$轴的对称点$C'$，因为$C(-1,2)$，所以$C'(-1,-2)$。
连接$BC'$与$x$轴的交点即为$P$点（两点之间线段最短）。
设直线$BC'$的解析式为$y = kx + b$，把$B(-4,1)$，$C'(-1,-2)$代入$y=kx + b$得：
$\begin{cases}-4k + b = 1\\-k + b=-2\end{cases}$。
用$-k + b=-2$减去$-4k + b = 1$得：$(-k + b)-(-4k + b)=-2 - 1$。
即$-k + b + 4k - b=-3$，$3k=-3$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$-4k + b = 1$得：$(-4)×(-1)+b = 1$，$4 + b = 1$，$b=-3$。
所以直线$BC'$的解析式为$y=-x - 3$。
令$y = 0$，则$-x-3 = 0$，解得$x=-3$，所以$P(-3,0)$。
作图：先作$C$关于$x$轴的对称点$C'$，再连接$BC'$，$BC'$与$x$轴的交点就是$P$点（图略）。
综上，（1）、（2）按上述方法画图；（3）$P$点坐标为$(-3,0)$（图略）。

12. 新考向 推理能力 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $，$ B $ 分别在 $ y $ 轴正半轴、$ x $ 轴正半轴上，顶点 $ C $，$ D $ 在第一象限，已知 $ OA = OB = 2 $，$ BC = 4\sqrt{2} $，将矩形 $ ABCD $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转，每次旋转 $ 90^{\circ} $，则第 $ 2025 $ 次旋转结束时，点 $ C $ 的坐标是(B)

A.$ (6,4) $
B.$ (-4,6) $
C.$ (-6,-4) $
D.$ (4,-6) $

答案： 12.B

1. 如图，$ \triangle CDB $ 是由 $ \triangle ABD $ 旋转得到的，其中 $ AB = CD $，$ AD = CB $，则旋转中心是BD的中点，旋转角的度数是180°。

答案： 1.BD的中点 180°

2. 如图，在 $ 4 × 4 $ 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是点B。

答案： 2.B

3. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，以某点为旋转中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的位置，则旋转中心的坐标是(3,2)。

答案： 3.(3,2)