《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

14. (新考向)推理能力已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的最小值为2，则(B)

A.$a ＞ 0,b^{2}-4ac = 0$
B.$a ＞ 0,b^{2}-4ac ＜ 0$
C.$a ＜ 0,b^{2}-4ac = 0$
D.$a ＜ 0,b^{2}-4ac ＞ 0$

答案： 14.B

15. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，下列说法错误的是(D)


A.$a ＜ 0,b ＞ 0$
B.$b^{2}-4ac ＞ 0$
C.方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是$x_{1}=5,x_{2}=-1$
D.不等式$ax^{2}+bx + c ＞ 0$的解集是$0 ＜ x ＜ 5$

答案： 15.D

16. (2024·泸州)已知二次函数$y = ax^{2}+(2a - 3)x + a - 1$(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(A)

A.$1\leqslant a ＜ \frac{9}{8}$
B.$0 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
C.$0 ＜ a ＜ \frac{9}{8}$
D.$1\leqslant a ＜ \frac{3}{2}$

答案： 16.A

17. (2023·南充)抛物线$y = -x^{2}+kx + k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为$A(m,0)$，若$-2\leqslant m\leqslant1$，则实数k的取值范围是(B)

A.$-\frac{21}{4}\leqslant k\leqslant1$
B.$k\leqslant-\frac{21}{4}$或$k\geqslant1$
C.$-5\leqslant k\leqslant\frac{9}{8}$
D.$k\leqslant-5$或$k\geqslant\frac{9}{8}$

答案： 17.B

1. 如图，抛物线$y_{1}=ax^{2}$与直线$y_{2}=bx + c$的两个交点坐标分别为$A(m,-\frac{9}{4}),B(1,-1)$。
(1)m的值为-3/2，方程$ax^{2}-bx - c = 0$的解是x₁=-3/2,x₂=1。
(2)不等式$y_{1}＞y_{2}$的解集是-3/2＜x＜1，不等式$y_{1}\leqslant y_{2}$的解集是x≤-3/2或x≥1。

答案： 1.
(1)$-\frac{3}{2}$,$x₁=-\frac{3}{2}$,$x₂=1$
(2)$-\frac{3}{2}＜x＜1$ $x\leqslant-\frac{3}{2}$或$x\geqslant1$

2. 已知二次函数$y_{1}=x^{2}+bx - 3$的图象与直线$y_{2}=x + 1$交于点$A(-1,0)$，$C(4,m)$。
(1)求二次函数的解析式和m的值。
(2)当$y_{1}＞y_{2}$时，求自变量x的取值范围。
(3)将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式。

答案：
2.解：
(1)把A(-1,0)代入$y₁=x^{2}+bx-3$,得0=1-b-3,解得b=-2.
∴$y₁=x^{2}-2x-3$.把C(4,m)代入$y₂=x+1$,得m=4+1=5.
(2)如图，根据图象可知，当$y₁＞y₂$时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4.
(3)设直线AC平移后的解析式为y=x+k.联立$\begin{cases}y=x+k\\y=x^{2}-2x-3\end{cases}$，得$x^{2}-3x-3-k=0$.
∵平移后的直线与抛物线只有一个公共点，
∴$\Delta=(-3)^{2}-4(-k-3)=0$，解得$k=-\frac{21}{4}$.
∴平移后的直线解析式为$y=x-\frac{21}{4}$.

(1)若直线$y_{1}=kx + h$与抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx + c$没有交点，则方程$ax^{2}+bx + c = kx + h$中$\Delta ＜ 0$；
(2)若直线$y_{1}=kx + h$与抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx + c$有一个交点，则方程$ax^{2}+bx + c = kx + h$中$\Delta$；
(3)如图，直线$y_{1}=kx + h$与抛物线$y_{2}=ax^{2}+bx + c$交于点$A(m,n)$，$B(p,q)$，则方程$ax^{2}+bx + c = kx + h$的根为$x_{1}=m,x_{2}=p$，不等式$y_{1}＜y_{2}$的解集为$x ＜ m$或$x ＞ p$，不等式$y_{1}＞y_{2}$的解集为。

答案：
(2) $\Delta = 0$；
(3) $m ＜ x ＜ p$