《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

11. (本课时T4变式)若关于$x$的方程$(m - 2)x^{|m|}-bx - 1 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为-2。

答案： 11.-2

12. 已知将一元二次方程$2x^{2}-(m + 1)x + 1 = x(x - 1)$化成一般形式后一次项的系数为$-2$，则$m$的值为 (D)

A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$

答案： 12.D

13. (2024·凉山州)若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$的一个根是$x = 0$，则$a$的值为 (A)

A.$2$
B.$-2$
C.$2$或$-2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 13.A

14. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-bx - 2024 = 0$满足$a + b - 2024 = 0$，则方程必有一根为(B)

A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.无法确定

答案： 14.B

15. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多$6$尺，门的对角线长为$1$丈($1$丈$ = 10$尺)，那么门的高和宽各是多少？”设门的宽为$x$尺，根据题意可列方程为x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}。

答案： $15.x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

16. （教材P4综合运用变式）根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排$55$场比赛，求参赛的足球队个数。
（2）一山羊养殖户要用$36m$长的建筑材料建一个面积为$80m^{2}$的矩形羊舍，求羊舍的长。

答案： 16.解：
(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得$\frac{x(x-1)}{2}=55.$整理，得$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-55=0.(2)$设羊舍的长为xm,则宽为(18-x)m.根据题意，得x(18-x)=80.整理，得$-x^{2}+18x-80=0.$

17. 已知关于$x$的方程$(m^{2}-9)x^{2}+(m + 3)x + 2 = 0$。
（1）当$m$为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当$m$为何值时，此方程是一元二次方程？

答案： 17.解：
(1)由题意，得当$m^{2}-9=0$且m+3≠0时，方程是一元一次方程，所以m=3.
(2)由题意，得当$m^{2}-9≠0$时，方程是一元二次方程，所以m≠±3.

18. 【整体思想】若$a$是方程$x^{2}-2024x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$的值。

答案： 18.解：由题意，得$a^{2}-2024a+1=0.$
∴$a^{2}+1=2024a,a^{2}-2024a=-1.$
∴$a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}=a^{2}-2024a-a+\frac{2024a}{2024}=-1-a+a=-1.$