《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

7. 下列方程中，根为 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 4c}}{2}$ 的是(B)

A.$x^{2}-5x - c = 0$
B.$x^{2}+5x - c = 0$
C.$x^{2}-5x + 4c = 0$
D.$x^{2}+5x + c = 0$

答案： 7.B

8. 一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的较大的根为\frac{-3+\sqrt{13}}{2}.

答案： $8.\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$

9. 【数形结合思想】如图，点 $A$ 在数轴的负半轴上，点 $B$ 在数轴的正半轴上，且点 $A$ 对应的数是 $2x - 1$，点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$.已知 $AB = 5$，则 $x$ 的值为\frac{1-\sqrt{17}}{2}.

答案： $9.\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

10. 新考向 新定义问题 定义：$a*b=\frac{a + 2b}{2}$.则方程 $(2x*x^{2})-(x^{2}*2x)=1$ 的解为x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}.

答案： $10.x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}$

11. 用公式法解下列方程：
(1) $x(x + 2\sqrt{3})+2 = 0$.
(2) $x^{2}+7x - 3 = x(3 - x)$.

答案： 11.解：
(1)原方程可化为$x^{2}+2\sqrt{3}x+2=0.\because a=1,b=2\sqrt{3},c=2,$
$\Delta=b^{2}-4ac=(2\sqrt{3})^{2}-4×1×2=4＞0.\therefore$方程有两个不相等的实
数根$.\therefore x=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm2}{2}.\therefore x_{1}=-\sqrt{3}+1,x_{2}=-\sqrt{3}-$
1.
(2)原方程可化为$2x^{2}+4x-3=0.\because a=2,b=4,c=-3,\therefore\Delta$
$=b^{2}-4ac=4^{2}-4×2×(-3)=40＞0.\therefore$方程有两个不相等的实数
根$.\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}.\therefore x_{1}=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_{2}=$
$\frac{-2-\sqrt{10}}{2}.$

12. (2024·南充)已知 $x_{1}$，$x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$ 的两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 若 $k＜5$，且 $k$，$x_{1}$，$x_{2}$ 都是整数，求 $k$ 的值.

答案： 12.解：$(1)\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta=(-2k)^{2}-4×1×$
$(k^{2}-k+1)=4k^{2}-4k^{2}+4k-4=4k-4＞0，$解得k＞1.
(2)由题
意，得1＜k＜5,
\therefore整数k的值为2,3,4.当k=2时，方程为$x^{2}-4x$
+3=0，解得$x_{1}=1,x_{2}=3；$当k=3或k=4时，此时方程的解不为
整数.综上所述，k的值为2.

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 为实数，且 $\sqrt{a^{2}-3a + 2}+\vert b + 1\vert+(c + 3)^{2}=0$，求方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的根.

答案： 13.解：$\because\sqrt{a^{2}-3a+2}+$|b+1|$+(c+3)^{2}=0，$又$\because\sqrt{a^{2}-3a+2}\geq0，$
|b+1|$\geq0,(c+3)^{2}\geq0,\therefore a^{2}-3a+2=0,b+1=0,c+3=0，$解得
a=1或a=2,b=-1,c=-3.当a=1,b=-1,c=-3时，原方程
为$x^{2}-x-3=0.\because\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-3)=13＞0，$
$\therefore$方程有两个不相等的实数根$.\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.\therefore x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
$x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2};$当a=2,b=-1,c=-3时，原方程为$2x^{2}-x-3=$
$0.\because\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-3)=25＞0,\therefore$方程有两个
不相等的实数根$.\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{4}.\therefore x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-1.$