《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 根据下列条件解答问题：
(1) 若二次函数 $ y = ax^{2} + 4ax + a $ 的图象经过点 $ (3,22) $，则该二次函数的解析式为$y=x^{2}+4x+1$.
(2) 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点，且自变量 $ x $ 的部分取值与对应函数值 $ y $ 如下表：

则二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.
(3) 若抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，最小值为 $ -1 $，且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,3) $，则该抛物线的解析式为$y=(x-2)^{2}-1$.
(4) 若抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} $ 的形状相同，且经过点 $ A(1,0) $，则它的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x$ 或$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}$.
(5) 二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x - h)^{2}(h \neq 0) $ 的图象如图，其中 $ OA = OC $，则该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}$.

答案： 1.
(1)$y=x^{2}+4x+1$
(2)$y=x^{2}-2x-3$
(3)$y=(x-2)^{2}-1$
(4)$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x$ 或$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}$
(5)$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}$

2. 已知抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + 1 $.
(1) 先向右平移 $ 3 $ 个单位长度，再向下平移 $ 2 $ 个单位长度所得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}$ (或$y=-x^{2}+8x-16$).
(2) 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$).
(3) 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$).

答案： 2.
(1)$y=-(x-4)^{2}$ (或$y=-x^{2}+8x-16$)
(2)$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$)
(3)$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$)

3. (2024·南充高坪区期中) 将抛物线 $ y = x^{2} - 4 $ 的图象先向左平移 $ 1 $ 个单位长度，再向上平移 $ 2 $ 个单位长度，所得的图象的解析式为 $ y = x^{2} - bx - c $，则 $ b + c $ 的值是(C)

A.$ 1 $
B.$ 3 $
C.$ -1 $
D.$ -3 $

答案： 3.C

4. (2024·泸州泸县期中) 已知二次函数的图象经过点 $ (2,3) $，且当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 有最大值 $ 5 $，求这个函数的解析式.

答案： 4.解：$\because$当$x=1$时，$y$有最大值$5$，$\therefore$可设这个二次函数的解析式为$y=a(x-1)^{2}+5$，$\because$图象经过点$(2,3)$，$\therefore a+5=3$，$\therefore a=-2$，$\therefore$这个二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^{2}+5$。

5. (2023·南充仪陇县月考改编) 函数 $ y = ax^{2} + 2ax + c $（$ a,c $ 为常数，且 $ a ＜ 0 $）在自变量 $ x $ 的值满足 $ -4 \leq x \leq 1 $ 时，其对应的函数值 $ y $ 满足 $ -5 \leq y \leq \frac{5}{8} $.
(1) 求抛物线的对称轴及顶点坐标.
(2) 求抛物线的解析式.

答案： 5.解：
(1)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，且$a＜0$，$\therefore$当$x=-1$时，$y$有最大值，$\because$当$-4\leq x\leq1$时，其对应的函数值$y$满足$-5\leq y\leq\frac{5}{8}$，$\therefore$当$x=-1$时，$y=\frac{5}{8}$；当$x=-4$时，$y=-5$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,\frac{5}{8})$。
(2)把$(-1,\frac{5}{8})$，$(-4,-5)$代入$y=ax^{2}+2ax+c$，得$\begin{cases}a - 2a + c = \frac{5}{8}\\16a - 8a + c = -5\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{5}{8}\\c = 0\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{8}x^{2}-\frac{5}{4}x$。