《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

3. (2023·南充)某工厂计划从 A,B 两种产品中选择一种生产并销售,每日产销 x 件.已知 A 产品成本价为 $ m $元/件($ m $为常数,且 $ 4 \leq m \leq 6 $),售价为 8 元/件,每日最多产销 500 件,同时每日共支付专利费 30 元;B 产品成本价为 12 元/件,售价为 20 元/件,每日最多产销 300 件,同时每日支付专利费 $ y $元,$ y $(元)与每日产销 $ x $(件)满足关系式 $ y = 80 + 0.01x^2 $.
(1)若产销 A,B 两种产品的日利润分别为 $ w_1 $元,$ w_2 $元,请分别写出 $ w_1 $,$ w_2 $与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围.
(2)分别求出产销 A,B 两种产品的最大日利润(A 产品的最大日利润用含 m 的代数式表示).
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品? 并说明理由.
[利润 $ = $(售价 - 成本)$ × $产销数量 - 专利费]

答案： 3.解:
(1)根据题意,得w₁ = (8 - m)x - 30(0 ≤ x ≤ 500),w₂ = (20 - 12)x - (80 + 0.01x²) = -0.01x² + 8x - 80(0 ≤ x ≤ 300).
(2)
∵4 ≤ m ≤ 6,
∴8 - m ＞ 0.
∴w₁随x的增大而增大.又
∵0 ≤ x ≤ 500,
∴当x = 500时,w₁最大 = (-500m + 3970)元.w₂ = -0.01x² + 8x - 80 = -0.01(x - 400)² + 1520.
∵ -0.01 ＜ 0,
∴当0 ≤ x ≤ 300时,w₂随x的增大而增大.
∴当x = 300时,w₂最大 = -0.01×(300 - 400)² + 1520 = 1420(元).
(3)①若w₁最大 = w₂最大,即 -500m + 3970 = 1420,解得m = 5.1;②若w₁最大 ＞ w₂最大,即 -500m + 3970 ＞ 1420,解得m ＜ 5.1;③若w₁最大 ＜ w₂最大,即 -500m + 3970 ＜ 1420,解得m ＞ 5.1.又
∵4 ≤ m ≤ 6,
∴当m = 5.1时,选择A,B产品产销均可;当4 ≤ m ＜ 5.1时,选择A种产品产销;当5.1 ＜ m ≤ 6时,选择B种产品产销.

4. 新考向 项目式学习 根据以下素材,探索完成任务.

答案：
4.解:任务1: 1/2x²cm²　(-5x + 50)cm²
任务2:①当AE为区域乙的一边时,如图3,S乙 = 1/2 × 10 × 10 = 50(cm²);
　　　　　　　
②当DF为区域乙的一边时,如图4,
　　　　　　　
∵S甲 = 1/2 × 10(10 - x) = (-5x + 50)cm²,
∴S乙 = 10×10 - 1/2x² - (-5x + 50) - (-5x + 50) = (-1/2x² + 10x)cm².
∴区域乙的面积为50cm²或(-1/2x² + 10x)cm².
任务3:当采用方案①时,S乙 = 50cm²;当采用方案②时,S乙 = -1/2x² + 10x = -1/2(x - 10)² + 50,
∵ -1/2 ＜ 0,2.5 ≤ x ≤ 6.5且x为整数,
∴当x = 3时,S乙取最小值,最小值为25.5.综上所述，最佳定位点E的坐标为(3,0).