《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

11. 关于函数 $ y = 2x^{2}-3 $，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象及性质，下列说法不正确的是 (D)

A.它们的对称轴都是 $ y $ 轴
B.对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.抛物线 $ y = 2x^{2}-3 $ 不能由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 平移得到
D.抛物线 $ y = 2x^{2}-3 $ 的开口比抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的开口大

答案： 11.D

12. 一次函数 $ y = ax + b $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y = ax^{2}+b $ 的图象是 (C)

答案： 12.C

13. 抛物线 $ y = x^{2}+3 $ 上有两点 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $. 若 $ y_{1} ＜ y_{2} $，则下列结论正确的是 (D)

A.$ 0 \leq x_{1} ＜ x_{2} $
B.$ x_{2} ＜ x_{1} \leq 0 $
C.$ x_{2} ＜ x_{1} \leq 0 $ 或 $ 0 \leq x_{1} ＜ x_{2} $
D.$ |x_{1}| ＜ |x_{2}| $

答案： 13.D

14. 若抛物线 $ y = ax^{2}+c $ 与抛物线 $ y = -4x^{2}+3 $ 关于 $ x $ 轴对称，则 $ a = $4，$ c = $-3.

答案： 14.4 -3

15. 新考向 推理能力 已知二次函数 $ y = ax^{2}+3 $，当 $ x $ 分别取 $ x_{1} $，$ x_{2}(x_{1} \neq x_{2}) $ 时，函数值相等，则当 $ x = x_{1}+x_{2} $ 时，函数值为3.

答案： 15.3

16. 如图，抛物线 $ y = -x^{2}+4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形.
(1) 求 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标.
(2) 若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $，求平移后抛物线的解析式.

答案： 16.解:
(1)在$y = -x^{2}+4$中，令$x = 0$，则$y = 4$；令$y = 0$，则$-x^{2}+4 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$.$\therefore A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,4)$.
(2)$\because$四边形ABCD是平行四边形，$AB = 4$，$C(0,4)$，$\therefore CD = AB = 4$，$CD// AB$.$\therefore D(-4,4)$.设平移后抛物线的解析式为$y = -x^{2}+4+m$，则$4 = -(-4)^{2}+4+m$，解得$m = 16$.$\therefore$平移后抛物线的解析式为$y = -x^{2}+20$.

17. 如图，已知正比例函数 $ y = 2x $ 的图象与抛物线 $ y = ax^{2}+3 $ 相交于点 $ A(1,b) $.
(1) 求 $ a $，$ b $ 的值.
(2) 若点 $ B(m,4) $ 在函数 $ y = 2x $ 的图象上，抛物线 $ y = ax^{2}+3 $ 的顶点是 $ C $，求 $ \triangle ABC $ 的面积.
(3) 若 $ P $ 是 $ x $ 轴上一个动点，则当 $ PA + PC $ 最小时，点 $ P $ 的坐标为(\frac{3}{5},0).

答案： 17.解:
(1)$\because$点A(1,b)在函数$y = 2x$的图象上，$\therefore b = 2×1 = 2$.$\therefore A(1,2)$.$\because$点A(1,2)在抛物线$y = ax^{2}+3$上，$\therefore 2 = a+3$，解得$a = -1$.
(2)$\because$点B(m,4)在函数$y = 2x$的图象上，$\therefore4 = 2m$，解得$m = 2$.$\therefore B(2,4)$.$\because$抛物线$y = -x^{2}+3$的顶点是C，$\therefore C(0,3)$.$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1 = 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
(3)$(\frac{3}{5},0)$