《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

6. (2022·南充) 如图，水池中心点 $ O $ 处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 $ O $ 在同一水平面. 安装师傅调试发现，喷头高 $ 2.5 \, m $ 时，水柱落点距点 $ O2.5 \, m $；喷头高 $ 4 \, m $ 时，水柱落点距点 $ O3 \, m $. 那么当喷头高 8 $ m $ 时，水柱落点距点 $ O4 \, m $.

答案： 6.8

7. 如图所示的是某种型号的飞机，飞机着陆后滑行的距离 $ s(m) $ 关于滑行时间 $ t(s) $ 的函数解析式是 $ s = 100t - 2.5t^2 $，则此型号飞机着陆后滑行 1000 $ m $ 停下来.

答案： 7.1000

8. 如图，排球运动场的场地长 $ 18 \, m $，球网高 $ 2.43 \, m $，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为 $ 9 \, m $. 一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分. 某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为 $ 2.2 \, m $，当排球飞行到距离球网 $ 3 \, m $ 时达到最大高度 $ 2.8 \, m $. 小洛在图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{60}x^2 + 2.8 $. 根据以上信息，解答下列问题：
(1) 请在图中画出小洛建立的平面直角坐标系.
(2) 判断排球能否过球网，并说明理由.
(3) 判断排球是否会出界，并说明理由.

答案： 1. （1）
以排球达到最大高度时的水平位置为原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向建立平面直角坐标系。
(2)排球能过球网,理由如下:$\because$当$x = 3$时,$y = - \frac { 1 } { 6 0 } × 3 ^ { 2 } + 2 . 8 = 2 . 6 5 ＞ 2 . 4 3$,$\therefore$排球能过球网.
(3)排球会出界,理由如下:$\because$当$x = 1 2$时,$y = - \frac { 1 } { 6 0 } × 1 2 ^ { 2 } + 2 . 8 = 0 . 4 ＞ 0$,$\therefore$排球会出界.

9. 新考向 真实情境 【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备. 其中抛物线形帐篷(图 1)支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用.
【建立模型】小邕发现 $ A $ 款帐篷搭建时张开的宽度 $ AB = 4 \, m $，顶部高度 $ h = 2 \, m $，于是他建立了平面直角坐标系(如图 2 所示)，请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式.
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图 3 为一张椅子摆入 $ A $ 款帐篷后的简易视图，椅子高度 $ EC = 0.72 \, m $，宽度 $ CD = 0.5 \, m $. 若在帐篷内沿 $ AB $ 方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量.
【分析计算】现要设计一款抛物线形帐篷，要求顶部高度为 $ 2.5 \, m $，且一排能容纳 $ 5 $ 张高为 $ 1 \, m $，宽为 $ 0.6 \, m $ 的椅子. 设其抛物线形支架的形状值为 $ a(a ＜ 0) $，请求出 $ a $ 的最小值.

答案：
9.解:【建立模型】由题意可得,$A ( - 2 , 0 )$,$B ( 2 , 0 )$,抛物线最高点的坐标为$(0,2)$.设抛物线函数关系式为$y = a x ^ { 2 } + 2$,将$B(2,0)$代入,得$0 = 4a + 2$,解得$a = - \frac { 1 } { 2 }$.$\therefore$抛物线函数关系式为$y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2$.
【运用模型】在$y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2$中,令$y = 0 . 7 2$,得$0 . 7 2 = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2$,解得$x _ { 1 } = 1 . 6$,$x _ { 2 } = - 1 . 6$.$\because 1 . 6 + 1 . 6 = 3 . 2 ( m )$,$3 . 2 ÷ 0 . 5 = 6 . 4$,$\therefore$最多可摆放的椅子数量为$6$张.【分析计算】设抛物线的函数关系式为$y = a x ^ { 2 } + 2 . 5$,如图4，若抛物形帐篷刚好能容纳$5$张高为$1m$，宽为$0.6m$的椅子且经过点$F$，则$y_F = 1$，$x_F = \frac { 5 × 0 . 6 } { 2 } = \frac { 3 } { 2 }$.$\because y = a x ^ { 2 } + 2 . 5$经过点$F ( - \frac { 3 } { 2 } , 1 )$，$\therefore 1 = \frac { 9 } { 4 } a + 2 . 5$，解得$a = - \frac { 2 } { 3 }$.$\therefore a$的最小值为$- \frac { 2 } { 3 }$.