《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 新考向 真实情境 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头. 卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 $ OA $ 约为 $ 22 $ 米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 $ y = -\frac{13}{121}(x - 11)^2 + k $. 主桥拱最高点 $ P $ 与其在水中倒影 $ P' $ 之间的距离为(D)


A.$ 11 $ 米
B.$ 13 $ 米
C.$ 22 $ 米
D.$ 26 $ 米

答案： 1.D

2. 如图所示，公路隧道的截面为抛物线形，线段 $ OA $ 表示水平的路面，以点 $ O $ 为坐标原点， $ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴，以过点 $ O $ 垂直于 $ x $ 轴的直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系. 若 $ OA =$$10 \, m $，抛物线的顶点 $ P $ 到 $ OA $ 的距离为 $ 9 \, m $，则抛物线对应的函数解析式为 $y = - \frac { 9 } { 2 5 } ( x - 5 ) ^ { 2 } + 9$.

答案： 2.$y = - \frac { 9 } { 2 5 } ( x - 5 ) ^ { 2 } + 9$

3. 某农户搭建有如图 1 所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图 2 所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中 $ OA $ 是地面所在的水平线，点 $ O $ 是塑料顶棚与地面的交点， $ AB $ 是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点 $ O $ 的水平距离是 $ 6 $ 米，到地面 $ OA $ 的高度是 $ 3 $ 米. 现以 $ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴，过点 $ O $ 垂直于 $ OA $ 的直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系. 若保温墙 $ AB $ 到点 $ O $ 的距离 $ OA = 8 $ 米，请你求出保温墙 $ AB $ 的高度.

答案： 3.解:设塑料顶棚所在抛物线的解析式为$y = a ( x - 6 ) ^ { 2 } + 3$.将点$O(0,0)$代入抛物线解析式,得$36a + 3 = 0$,解得$a = - \frac { 1 } { 1 2 }$.$\therefore$抛物线的解析式为$y = - \frac { 1 } { 1 2 } ( x - 6 ) ^ { 2 } + 3$.当$x = 8$时,$y = - \frac { 1 } { 1 2 } × ( 8 - 6 ) ^ { 2 } + 3 = \frac { 8 } { 3 }$.
答:保温墙$AB$的高度是$\frac { 8 } { 3 }$米.

4. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $ h(m) $ 与飞行时间 $ t(s) $ 之间具有函数关系： $ h = -5t^2 + 20t $，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 $ t = $ 2 $ s $.

答案： 4.2

5. 新考向 真实情境 射水鱼(别名高射炮鱼)在水中看到水面上方的猎物 $ A $ (猎物的大小忽略不计)后，便向猎物射水，当猎物被水射中后射水鱼对其进行捕获. 如图，喷射出的水柱在空中呈抛物线形状，设喷出水柱的竖直高度为 $ y \, cm $ (水柱的竖直高度是指水柱与鱼嘴 $ B $ 所在水平面的距离)，水柱与鱼嘴 $ B $ 的水平距离为 $ x \, cm $，建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：

(1) 请结合表中所给数据，求此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式.
(2) 若猎物 $ A $ 突然受到惊吓，退至点 $ (55, 45) $ 处，试判断该射水鱼此次射水喷出的水柱能否精准捕获猎物 $ A $，并说明理由.

答案： 5.解:
(1)由表格数据可知,当$x = 40$和$x = 60$时,$y$的值相同,则该抛物线的对称轴为直线$x = \frac { 4 0 + 6 0 } { 2 } = 5 0$.$\because$当$x = 5 0$时,$y = 5 0$,$\therefore$设该抛物线的解析式为$y = a ( x - 5 0 ) ^ { 2 } + 5 0$.将$(0,0)$代入$y = a ( x - 5 0 ) ^ { 2 } + 5 0$,解得$a = - \frac { 1 } { 5 0 }$.$\therefore$此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式为$y = - \frac { 1 } { 5 0 } ( x - 5 0 ) ^ { 2 } + 5 0$.
(2)不能.理由如下:当$x = 5 5$时,$y = - \frac { 1 } { 5 0 } ( x - 5 0 ) ^ { 2 } + 5 0 = 4 9 . 5 ＞ 4 5$,$\therefore$该射水鱼此次射水喷出的水柱不能精准捕获到猎物$A$.