《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

【例】二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = 1 $，根据函数图象用“$ ＞ $”“$ ＜ $”“$ \geqslant $”“$ \leqslant $”或“$ = $”填空.

(1) 根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
① $ a $＜ $ 0 $，$ b $＞ $ 0 $，$ c $＞ $ 0 $；
(2) $ b^{2} - 4ac $ 类：
② $ b^{2} - 4ac $＞ $ 0 $；
(3) $ -\frac{b}{2a},2a + b $ 类：
③ $ -\frac{b}{2a} $＞ $ 0 $；④ $ 2a + b $= $ 0 $；
(4) 当 $ x = \pm 1,\pm 2 $ 类：
⑤ $ a + b + c $＞ $ 0 $，$ a - b + c $＜ $ 0 $；
⑥ $ 4a + 2b + c $＜ $ 0 $，$ 4a - 2b + c $＞ $ 0 $；
(5) 最值：
⑦ $ a + b + c $≥ $ am^{2} + bm + c $($ m $ 为任意实数).

答案： 【例】
(1)①＜ ＞ ＞
(2)②＞
(3)③＞ ④=
(4)⑤＞ ＜ ⑥＜ ＞
(5)⑦≥

1. (2024·甘孜州) 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a ＞ 0) $ 的图象如图所示，给出下列结论：① $ c ＜ 0 $；② $ -\frac{b}{2a} ＞ 0 $；③当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ y ＜ 0 $.其中所有正确结论的序号是(D)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 1.D

2. (2024·青岛) 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = -1 $，则过点 $ M(c,2a - b) $ 和点 $ N(b^{2} - 4ac,a - b + c) $ 的直线一定不经过(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C

3. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(C)

A.$ abc ＜ 0 $
B.$ 4a - 2b + c ＜ 0 $
C.$ 3a + c = 0 $
D.$ am^{2} + bm \leqslant a + b $($ m $ 为任意实数)

答案： 3.C

4. (2024·泰安) 如图所示的是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 $ x = 1 $，图象与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 $ 2 $.下列结论：① $ 2a + b = 0 $；②方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间；③方程 $ ax^{2} + bx + c - \frac{3}{2} = 0 $ 一定有两个不相等的实数根；④ $ b - a ＜ 2 $.其中，正确结论的个数为(B)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 4.B

5. 数形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题.已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示.下列结论：① $ ab ＞ 0 $；② $ 4a - 2b + c ＜ 0 $；③ $ 2a - b ＜ 0 $；④ $ |a + c| ＜ |b| $.其中正确的有①②③④(填序号).

答案： 5.①②③④