《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

综合与实践：
【主题】三角点阵中前 $ n $ 行的点数计算.
【素材】如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有 $ 1 $ 个点，第二行有 $ 2 $ 个点……第 $ n $ 行有 $ n $ 个点. 如果要用试验的方法，由上而下逐行相加其点数，容易发现，前 $ n $ 行的点数和是 $ 1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n $，可以发现 $ 2[1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n] = [1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n] + [n + (n - 1) + (n - 2) + \cdots + 3 + 2 + 1] $，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第 $ n $ 项相加，整个式子等于 $ n(n + 1) $，于是得到 $ 1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{1}{2}n(n + 1) $. 这就是说，三角点阵中前 $ n $ 行的点数和是 $ \frac{1}{2}n(n + 1) $.
【实践探索】请根据上述材料回答下列问题：
(1) 请用一元二次方程解决问题：三角点阵中 $ 300 $ 是前多少行的点数之和？
(2) 三角点阵中前 $ n $ 行的点数之和可能是 $ 600 $ 吗？如果可能，求出 $ n $ 的值；如果不可能，请说明理由.
(3) 如果把上述三角点阵图中各行的点数依次换为 $ 1,3,5,\cdots,2n - 1 $，请直接写出前 $ n $ 行的点数之和满足的规律.（用含 $ n $ 的代数式表示）

答案：
(1)设三角点阵中$300$是前$n$行的点数之和.根据题意，得$\frac{1}{2}n(n + 1) = 300$.整理，得$n^{2} + n - 600 = 0$，解得$n_1 = 24$，$n_2 = - 25$（不合题意，舍去）.答：三角点阵中$300$是前$24$行的点数之和.
(2)三角点阵中前$n$行的点数之和不可能是$600$.理由如下：设三角点阵中前$n$行的点数之和是$600$.根据题意，得$\frac{1}{2}n(n + 1) = 600$.整理，得$n^{2} + n - 1200 = 0$，解得$n = \frac{- 1 + \sqrt{4801}}{2}$，$n_2 = \frac{- 1 - \sqrt{4801}}{2}$ $\because$该方程没有正整数根，$\therefore$三角点阵中前$n$行的点数之和不可能是$600$.
(3)$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = \frac{1}{2}n(2n - 1 + 1) = n^{2}$，$\therefore$前$n$行的点数之和为$n^{2}$.