《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 填写下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.

答案： 1.向上 y轴 (0,2) 向下 y轴 (0,-3) 向上 y轴 (0,1)向下 y轴 (0,-4)

2. 二次函数 $ y = x^{2}+1 $ 的图象大致是 (B)

答案： 2.B

3. 已知抛物线 $ y = x^{2}+a - 1 $ 的顶点在 $ x $ 轴的下方，则 $ a $ 的取值范围是a＜1.

答案： 3.a＜1

4. 已知二次函数 $ y = -2x^{2}+2 $.
(1) 该函数图象与 $ y $ 轴的交点坐标为(0,2).
(2) 若点 $ P(m,0) $ 在该函数图象上，则点 $ P $ 的坐标为(1,0)或(-1,0).
(3) 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 因为 $ a ＜ 0 $，所以 $ y $ 有最大值，当 $ x = $0时，$ y $ 取最大值，是2.

答案： 4.
(1)(0,2)
(2)(1,0)或(-1,0)
(3)减小 增大
(4)大 0 大 2

5. (2023·广州) 已知点 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $，在抛物线 $ y = x^{2}-3 $ 上，且 $ 0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} $，则 $ y_{1} $＜$ y_{2} $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： 5.＜

6. (1) 将抛物线 $ y = x^{2} $ 向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式是 (A)
A. $ y = x^{2}+3 $
B. $ y = x^{2}-3 $
C. $ y = (x + 3)^{2} $
D. $ y = (x - 3)^{2} $
(2) 如果将抛物线 $ y = -x^{2}-2 $ 向下平移 2 个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是y=-x^{2}-4.

答案： $6.(1)A (2)y=-x^{2}-4$

7. 若抛物线 $ y = ax^{2}+c $ 与 $ y = -3x^{2} $ 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是 $ (0,2) $，则该抛物线的函数解析式是y=3x^{2}+2.

答案： $7.y=3x^{2}+2$

8. 新考向 开放性问题 请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：①当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大；②该二次函数图象向上平移 2 个单位长度后经过原点. 你写出的二次函数解析式为y=x^{2}-2(答案不唯一).

答案： $8.y=x^{2}-2($答案不唯一)

9. (教材 P33 练习变式) 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = -2x^{2} $，$ y = -2x^{2}+3 $ 的图象.
(1) 分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
(2) 抛物线 $ y = -2x^{2}+3 $ 可由抛物线 $ y = -2x^{2} $ 向上平移3个单位长度得到.

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
对于$y=-2x^{2}$：
其中$a=-2$，$b = 0$，$c = 0$。
因为$a=-2\lt0$，所以开口方向向下。
对称轴：根据$x =-\frac{b}{2a}$，$b = 0$，$a=-2$，则对称轴$x = 0$（$y$轴）。
顶点坐标：把$x = 0$代入$y=-2x^{2}$得$y = 0$，所以顶点坐标为$(0,0)$。
对于$y=-2x^{2}+3$：
其中$a=-2$，$b = 0$，$c = 3$。
因为$a=-2\lt0$，所以开口方向向下。
对称轴：根据$x =-\frac{b}{2a}$，$b = 0$，$a=-2$，则对称轴$x = 0$（$y$轴）。
顶点坐标：把$x = 0$代入$y=-2x^{2}+3$得$y = 3$，所以顶点坐标为$(0,3)$。
2. （2）
对于抛物线的平移，遵循“上加下减常数项”的原则。
抛物线$y=-2x^{2}+3$与$y=-2x^{2}$相比，$y=-2x^{2}+3=y=-2x^{2}+0 + 3$，所以抛物线$y=-2x^{2}+3$可由抛物线$y=-2x^{2}$向上平移$3$个单位长度得到。
综上，（1）$y=-2x^{2}$：开口方向向下，对称轴$y$轴（$x = 0$），顶点坐标$(0,0)$；$y=-2x^{2}+3$：开口方向向下，对称轴$y$轴（$x = 0$），顶点坐标$(0,3)$；（2）上，$3$。

10. 对于二次函数 $ y = -3x^{2}+1 $，当 $ -2 ＜ x \leq 1 $ 时，$ y $ 的取值范围是-11＜y≤1.

答案： 10.-11＜y≤1