《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

14. 新考向 新定义问题 在平面直角坐标系中,对“纵横值”给出如下定义:点$A(x,y)$是函数图象上任意一点,纵坐标$y$与横坐标$x$的差“$y-x$”称为点$A$的“纵横值”. 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”. 例如:点$A(1,3)$在函数$y=2x+1$图象上,点$A$的“纵横值”为$3-1=2$,函数$y=2x+1$图象上所有点的“纵横值”可以表示为$y-x=2x+1-x=x+1$,当$3\leqslant x\leqslant 6$时,$x+1$的最大值为$6+1=7$,所以函数$y=2x+1(3\leqslant x\leqslant 6)$的“最优纵横值”为7. 根据定义,解答下列问题:
(1)点$B(-6,2)$的“纵横值”为8.
(2)若二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的顶点在直线$x=\frac{3}{2}$上,且“最优纵横值”为5,求$c$的值.
(3)若二次函数$y=-(x-h)^{2}+3$的顶点在直线$y=\frac{1}{2}x+2$上,当$-1\leqslant x\leqslant 3$时,求该二次函数的“纵横值”的取值范围.

答案： 14.解：
(1)8
(2)由题意，得$-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{3}{2}，$解得$b = 3.\therefore y=-x^2 + 3x + c.\therefore y - x=-x^2 + 3x + c - x=-x^2 + 2x + c=-(x - 1)^2 + 1 + c.\because “$最优纵横值”为5，$\therefore1 + c = 5.\therefore c = 4.(3)$由题意，得$-\frac{1}{2}h + 2 = 3，$解得$h = 2.\therefore y=-(x - 2)^2 + 3.\therefore y - x=-(x - 2)^2 + 3 - x=-x^2 + 3x - 1=-(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}.\therefore $对称轴为直线$x = \frac{3}{2}。$
$\because -1＜0，$$\therefore $抛物线开口向下$.\therefore -1\leq x\leq3，$$\therefore $当$x = \frac{3}{2}$时，取得最大值为$\frac{5}{4}；$当x = -1时，取得最小值为$ - 5.\therefore “$纵横值”的取值范围为$ - 5\leq y - x\leq\frac{5}{4}。$

15. 新考向 过程性学习 九年级某班成立了数学学习兴趣小组,该小组对函数$y=|x^{2}-1|$的图象和性质进行探究,过程如下,请你补充完整.
(1)①列表:下表是$x$,$y$的几组对应值,其中$m=$\frac{3}{4},$n=$\frac{3}{4}.

②描点:根据表中的数值描点$(x,y)$,请补充描出点$(-\frac{1}{2},m)$,$(\frac{1}{2},n)$.
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.
(2)请观察图象,直接写出当$y$随$x$的增大而增大时,$x$的取值范围为-1＜x＜0或x＞1.
(3)除了上述增减性,请你再写出两条该函数的图象特征或性质:
①函数图象是轴对称图形;
②函数值y都是非负数.
(4)若点$(m,a)$与$(n,b)$在函数图象上,且$|n|＜|m|＜1$,则$a$与$b$的大小关系是a＜b.
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答案： 1. （1）①
当$x =-\frac{1}{2}$时，把$x =-\frac{1}{2}$代入$y=\vert x^{2}-1\vert$中，根据绝对值运算公式$\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$，这里$a = x^{2}-1$，$x =-\frac{1}{2}$，则$x^{2}-1=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，所以$y=\vert x^{2}-1\vert=\vert-\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}$，即$m = \frac{3}{4}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，把$x=\frac{1}{2}$代入$y = \vert x^{2}-1\vert$中，$x^{2}-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，所以$y=\vert x^{2}-1\vert=\vert-\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}$，即$n=\frac{3}{4}$。
2. （2）
对于函数$y = \vert x^{2}-1\vert=\begin{cases}x^{2}-1(x\geq1或x\leq - 1)\\1 - x^{2}(-1\lt x\lt1)\end{cases}$。
当$y = x^{2}-1(x\geq1或x\leq - 1)$时，二次函数$y = x^{2}-1$的对称轴为$x = 0$，开口向上，在$x\geq1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$y=1 - x^{2}(-1\lt x\lt1)$时，二次函数$y = 1 - x^{2}$的对称轴为$x = 0$，开口向下，在$-1\lt x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大。所以$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是$-1\lt x\lt0$或$x\gt1$。
3. （3）
①函数图象是轴对称图形（对称轴为$y$轴）。
②函数值$y$都是非负数（因为$y=\vert x^{2}-1\vert\geq0$）。
4. （4）
因为$\vert n\vert\lt\vert m\vert\lt1$，对于函数$y = 1 - x^{2}(-1\lt x\lt1)$，$y = 1 - x^{2}$，设$f(x)=1 - x^{2}$，根据二次函数的性质，$f(x)$在$(-1,0)$上单调递增，在$(0,1)$上单调递减，且$f(x)$关于$y$轴对称，$y = 1 - x^{2}$的图象是开口向下的抛物线，$\vert x\vert$越大，$y$的值越小。
已知点$(m,a)$与$(n,b)$在函数$y = \vert x^{2}-1\vert$（$-1\lt x\lt1$时$y = 1 - x^{2}$）图象上，且$\vert n\vert\lt\vert m\vert\lt1$，所以$a\lt b$。
故答案依次为：（1）①$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$；（2）$-1\lt x\lt0$或$x\gt1$；（3）①函数图象是轴对称图形；②函数值$y$都是非负数；（4）$a\lt b$。