《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

新考向 综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为$\triangle ABC$和$\triangle DFE$，其中$\angle ACB=\angle DEF=90^{\circ}$，$\angle A=\angle D$。将$\triangle ABC$和$\triangle DFE$按如图2所示的方式摆放，其中点$B$与点$F$重合（标记为点$B$）。当$\angle ABE=\angle A$时，延长$DE$交$AC$于点$G$。试判断四边形$BCGE$的形状，并说明理由。

(1)数学思考：请你解答老师提出的问题。
(2)深入探究：老师将图2中的$\triangle DBE$绕点$B$逆时针方向旋转，使点$E$落在$\triangle ABC$内部，并让同学们提出新的问题。
①“善思小组”提出问题：如图3，当$\angle ABE=\angle BAC$时，过点$A$作$AM\perp BE$，交$BE$的延长线于点$M$，$BM$与$AC$交于点$N$。试猜想线段$AM$和$BE$的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当$\angle CBE=\angle BAC$时，$AB$交$DE$于点$M$，若$BC=9$，$AC=12$，求$AM$的长。请你思考此问题，写出解题过程。

答案：
(1)四边形BCGE为正方形.理由如下：
∵∠BED=90°
∴∠BEG =180°-∠BED=90°.
∵∠ABE=∠A,AC//BE
∴∠CGE= ∠BED=90°
∵∠C=90°，
∴四边形BCGE为矩形.
∵△ACB≌ △DEB,BC=BE
∴矩形BCGE为正方形.
(2)①猜想：AM=BE. 证明：
∵∠ABE=∠BAC,AN=BN
∴∠C=90°
∴BC⊥AN
∴ AM⊥BE,即AM⊥BN,S$_{\triangle ABN }=\frac{1}{2}AN\cdot BC=\frac{1}{2}BN\cdot AM$
∵AN =BN,
∴BC=AM.由
(1)得,BE=BC,
∴AM=BE.②过点M作MG ⊥BD于点G.
∵△ACB≌△DEB,
∴BE=BC=9.DE=AC=12,∠A =∠D,∠ABC=∠DBE.
∴∠CBE=∠DBM.
∵∠CBE=∠BAC,
∴ ∠D=∠DBM.
∴MD=MB.在Rt△MEB中,$BM^{2}=(12 - BM)^{2}+ BE^{2}$,解得$BM=\frac{75}{8}$.在Rt△ABC中,$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}} =15$.
∴AM=AB-BM=$15-\frac{75}{8}=\frac{45}{8}$.