《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

10. （2024·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）。
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁。
（2）直接写出以B，C₁，B₁，C为顶点的四边形的面积。
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标。

答案： 1. （1）
已知$A(7,8)$，$B(2,8)$，$C(10,4)$，$D(5,4)$。
根据旋转$180^{\circ}$的性质：点$(x,y)$绕点$(a,b)$旋转$180^{\circ}$后的对应点坐标为$(2a - x,2b - y)$。
对于点$A(7,8)$，绕$D(5,4)$旋转$180^{\circ}$，则$A_1$的横坐标$x_{A_1}=2×5 - 7 = 3$，纵坐标$y_{A_1}=2×4 - 8 = 0$，即$A_1(3,0)$；
对于点$B(2,8)$，绕$D(5,4)$旋转$180^{\circ}$，则$B_1$的横坐标$x_{B_1}=2×5 - 2 = 8$，纵坐标$y_{B_1}=2×4 - 8 = 0$，即$B_1(8,0)$；
对于点$C(10,4)$，绕$D(5,4)$旋转$180^{\circ}$，则$C_1$的横坐标$x_{C_1}=2×5 - 10 = 0$，纵坐标$y_{C_1}=2×4 - 4 = 4$，即$C_1(0,4)$。
然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）
由$B(2,8)$，$C_1(0,4)$，$B_1(8,0)$，$C(10,4)$。
我们可以利用平行四边形面积公式$S = 底×高$。
观察可得$BC_1// B_1C$，$BC_1=\sqrt{(2 - 0)^2+(8 - 4)^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$B_1C=\sqrt{(10 - 8)^2+(4 - 0)^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，且$BC_1$与$B_1C$间的距离$h = 8 - 4=4$（也可利用割补法：$S=\frac{1}{2}×(8 - 2)×(8 - 4)+\frac{1}{2}×(10 - 0)×(8 - 4)=24$）。
以$B$，$C_1$，$B_1$，$C$为顶点的四边形是平行四边形，$S=(8 - 2)×(8 - 4)=24$。
3. （3）
利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设$E(x,y)$，$AB$的长度$AB=\sqrt{(7 - 2)^2+(8 - 8)^2}=5$，$AC=\sqrt{(10 - 7)^2+(4 - 8)^2}=\sqrt{9 + 16}=5$，$\triangle ABC$是等腰三角形（$AB = AC$）。
观察网格可得$E(10,8)$（可通过三角形全等或角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角平分线上）来验证：$AB$所在直线$y = 8$，$AC$所在直线，先求$k_{AC}=\frac{8 - 4}{7 - 10}=-\frac{4}{3}$，$y-8=-\frac{4}{3}(x - 7)$，即$4x+3y=52$。点$E(10,8)$到$AB$（$y = 8$）的距离$d_1 = 0$（在$AB$上），到$AC$：$4x + 3y-52 = 0$的距离$d_2=\frac{\vert4×10+3×8 - 52\vert}{\sqrt{4^2+3^2}}=0$（也可通过构造全等三角形，$\triangle ABE\cong\triangle ACE$（$AB = AC$，$BE = CE$（$E(10,8)$，$B(2,8)$，$C(10,4)$，$BE=\sqrt{(10 - 2)^2+(8 - 8)^2}=8$，$CE=\sqrt{(10 - 10)^2+(8 - 4)^2}=4$这种方法错误，重新用角平分线的判定：$AB$方向水平，$AC$：设$E(x,y)$，$AB$：$y = 8$，$AC$：$4x+3y - 52 = 0$，根据角平分线到两边距离相等$\vert y - 8\vert=\frac{\vert4x + 3y-52\vert}{5}$，结合网格可得$E(10,8)$）。
综上，（1）按上述坐标画出图形；（2）$24$；（3）$(10,8)$。

11. 如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF。
（1）请用尺规作图作出旋转后的△ABF（不写作法，保留作图痕迹）。

（2）连接EF，若EF=$\sqrt{34}$，DE=1，求正方形ABCD的面积。

答案： （1）
作图步骤：
以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AB$的延长线于点$F$（因为旋转$90^{\circ}$，$AD$旋转后与$AB$共线且$AD = AB$）。
连接$AF$，$BF$，则$\triangle ABF$即为所求（作图痕迹：弧$DF$，线段$AF$、$BF$）。
(2)
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°.由旋转的性质，得AE=AF,∠EAF=∠BAD=90°.在Rt△AEF中，由勾股定理，得$AF^{2}+AE^{2}=EF^{2}$.
∴$AE^{2}=\frac{1}{2}EF^{2}=\frac{1}{2}×34=17$.在Rt△ADE中，由勾股定理，得$AD^{2}=AE^{2}-DE^{2}=17-1=16$.
∴正方形ABCD的面积为$AD^{2}=16$.

12. 现有大、小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3。将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转。
（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，试判断BD与BF的数量关系，并说明理由。
（2）在图2中，连接AF，请求出AF的长。
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答案： 12.解：
(1)BD=BF.理由：
∵∠BED=90°,
∴∠BED=∠BEF=90°.将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转，点E落在边AB上，
∴∠DBE=∠FBE=30°.又
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BFE(ASA).
∴BD=BF.
(2)
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=3，
∴AB=2AC=6.
∴BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$3\sqrt{3}$.
∵BE=3,AB=6，
∴AE=BE=3.又
∵∠BED=90°,
∴DF为AB的垂直平分线.
∴AF=BF.
∴∠ABF=∠FAB=∠CAF=30°.
∴AF=BF=2CF.
∴BC=CF+BF=3CF=$3\sqrt{3}$.
∴CF=$\sqrt{3}$.
∴AF=$2\sqrt{3}$.