《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

13. 新考向 开放性问题 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$\angle DAB = 130^{\circ}$，连接 $OC$，点 $P$ 是半径 $OC$ 上任意一点，连接 $DP$，$BP$，则 $\angle BPD$ 可能等于80°(答案不唯一，满足50°≤∠BPD≤100°即可).(写出一个即可)

答案： 13.80°(答案不唯一，满足50°≤∠BPD≤100°即可)

14. 如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$\angle ADC = 150^{\circ}$，弦 $AC = 2$，则 $\odot O$ 的半径为2.

答案： 14.2

15. 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，对角线 $DB$ 平分 $\angle ADC$.
(1) 求证：$\triangle ABC$ 是等边三角形.
(2) 过点 $B$ 作 $BE // CD$ 交 $DA$ 的延长线于点 $E$，若 $AD = 2$，$DC = 3$，求 $\triangle BDE$ 的面积.

答案： 15.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°。
∵∠ABC = 60°，
∴∠ADC = 120°。
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB = ∠CDB = 60°。
∴∠ACB = ∠ADB = 60°，∠BAC = ∠CDB = 60°。
∴△ABC是等边三角形。
(2)
∵BE//CD，
∴∠EBD = ∠CDB = 60°。
∴∠EBD = ∠EDB = 60°。
∴△BDE是等边三角形。
∴BE = BD。又
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = CB，∠EBD = ∠ABC = 60°。
∴∠ABE = ∠CBD。在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases}BE = BD,\\∠ABE = ∠CBD,\\AB = CB,\end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS)。
∴AE = CD = 3。
∴AB = CB，
DE = AE + AD = 5。
∴BD = DE = 5。过点B作BF⊥DE于点F，则
DF = $\frac{1}{2}$DE = $\frac{5}{2}$。
∴BF = $\sqrt{BD^{2} - DF^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - (\frac{5}{2})^{2}}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
∴$S_{△BDE}$ = $\frac{1}{2}$DE·BF = $\frac{25\sqrt{3}}{4}$。

1. (2023·陕西改编)如图，$\triangle ABC$ 是 $\odot O$ 的内接三角形，$\angle A = 72^{\circ}$，过点 $O$ 作 $BC$ 的垂线交 $\widehat{BC}$ 于点 $D$，连接 $BD$，则 $\angle D$ 的度数为(B)

A.$64^{\circ}$
B.$54^{\circ}$
C.$46^{\circ}$
D.$36^{\circ}$
]

答案： 1.B

2. 如图，$\angle AOB = 96^{\circ}$，则 $\angle ACB$ 的度数为(C)

A.$192^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$132^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图，在 $\odot O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle C = 100^{\circ}$. 若点 $E$ 在 $\widehat{AD}$ 上，则 $\angle E$ 的度数为130°.

答案： 3.130°