《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

11. 一抛物线与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 3 $ 的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为 $ (-2,1) $，则此抛物线的解析式为(C)

A.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} - 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 $

答案： 11.C

12. (本课时 $ T10 $ 变式) 已知抛物线经过点 $ A(2,0) $ 和 $ B(-1,0) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 若 $ OC = 2 $，则这条抛物线的解析式是y=x²-x-2或y=-x²+x+2.

答案： 12.y=x²-x-2或y=-x²+x+2

13. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为y=-x²+2x+3.

答案： 13.y=-x²+2x+3

14. 如图，抛物线的顶点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，抛物线与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A,B $ 两点，且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ 2 $，那么抛物线的解析式为y=x²-1.

答案： 14.y=x²-1

15. (2024·辽宁改编) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A,B $，点 $ B $ 的坐标
为 $ (3,0) $. 若点 $ C(2,3) $ 在抛物线上，求 $ AB $ 的长.

答案： 15.解：$\because$抛物线y=ax²+bx+3过点B(3,0)，C(2,3)，$\therefore\begin{cases}9a+3b+3=0,\\4a+2b+3=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为y=-x²+2x+3。$\therefore$抛物线的对称轴是直线x=-2/(2×(-1))=1。$\because$抛物线与x轴的一交点为B(3,0)，$\therefore$另一交点为A(1-2,0)，即A(-1,0)。
$\therefore AB=3-(-1)=4。$

16. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 5(a \neq 0) $ 经过点 $ A(4,-5) $，与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 5OB $，抛物线的顶点为 $ D $.
(1) 求该抛物线的解析式.
(2) 连接 $ AB,BC,CD,DA $，求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案： 16.解：$(1)\because$抛物线y=ax²+bx-5与y轴交于点C，$\therefore$点C的坐标为(0,-5)。$\therefore OC=5。$$\because OC=5OB，$$\therefore OB=1。$又$\because$点B在x轴的负半轴上，$\therefore$点B的坐标为(-1,0)。将点A(4,-5)，B(-1,0)代入y=ax²+bx-5，得$\begin{cases}16a+4b-5=-5,\\a-b-5=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线的解析式为y=x²-4x-5。$(2)\because y=x²-4x-5=(x-2)²-9，$$\therefore$顶点D的坐标为(2,-9)。$\because A(4,-5)，$C(0,-5)，
$\therefore AC// x$轴，AC=4。$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×5=10，$$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×4×[-5-(-9)]=8。$$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=18。$