《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

【例】已知抛物线$y = -x^{2}+bx + 4$经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，求b与n的值。
【解题关键】若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，且$y_{1}=y_{2}$，则A,B两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$。
解：由$y = -x^{2}+bx + 4$可知抛物线的对称轴为直线$x=$。
由抛物线经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，可知其对称轴为直线$x=$=$$$。$\therefore$$$=$，解得$b=$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=$。
将点$(-2,n)$代入函数解析式，可得$n=$。

答案： 解：由$y = -x^{2}+bx + 4$可知抛物线的对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$。
由抛物线经过$(-2,n)$和$(4,n)$两点，可知其对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
$\therefore \frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 4$。
将点$(-2,n)$代入函数解析式，可得$n=-(-2)^{2}+2×(-2)+4=-4 - 4 + 4=-4$。
$\frac{b}{2}$；$\frac{-2+4}{2}$；$1$；$\frac{b}{2}$；$1$；$2$；$-x^{2}+2x + 4$；$-4$

1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分对应值如下表：

则它的图象的对称轴为直线$x=$1；当$x = 2$时，对应的函数值为-8。

答案： 1.1 -8

2. 如图，二次函数$y = -x^{2}+mx + n$的图象与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$，那么关于x的一元二次方程$-x^{2}+mx + n = 0$的解为x₁=5,x₂=-1。

【拓展提问】不等式$-x^{2}+mx + n ＜ 0$的解集为x＜-1或x＞5。

答案： 2.$x₁=5,x₂=-1$ 【拓展提问】x＜-1或x＞5

【例】已知二次函数$y = x^{2}-2x - 3$，根据下列要求回答问题。
(1)将其化为顶点式为，请在下列方框内画出该函数的示意图并标明其顶点及与x轴的交点。
(2)请根据示意图填空：
①当$x=$时，函数y有最小值，为。
②当$-2\leqslant x\leqslant0$时，函数y的最大值为，最小值为。
③当$-1\leqslant x\leqslant4$时，函数y的最大值为，最小值为。
④若当$t\leqslant x\leqslant6$时，函数y的最小值为$-2$，则t的值为。
⑤若当$x\leqslant a$时，函数y有最小值$-4$，则a的取值范围是。
⑥若当$t\leqslant x\leqslant t + 2$时，函数y的最大值是$5$，则t的值为。

答案：
(1) $y=(x-1)^2-4$
(2) ① $1$；$-4$
② $5$；$-3$
③ $5$；$-4$
④ $1+\sqrt{2}$
⑤ $a\geq1$
⑥ $-2$或$2$

1. (2024·南充西充县月考)已知抛物线$y = x^{2}-2x - 3$中自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 5$，则y的取值范围是-4≤y＜12。

答案： 1.$-4\leqslant y＜12$

2. 【定轴定区间】(2024·泸州泸县期中)已知二次函数$y = a(x - 1)^{2}-a(a\neq0)$，当$-1\leqslant x\leqslant4$时，y的最小值为$-4$，则a的值为(B)

A.$\frac{1}{2}$或$4$
B.$4$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或$4$
D.$-\frac{1}{2}$或$\frac{4}{3}$

答案： 2.B

3. 【定轴动区间】已知二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$，当$a\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$时，函数y的最小值为$1$，则a的值为(A)

A.$-\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$-2$
D.$0$

答案： 3.A

4. 【定轴动区间】(2024·乐山)已知二次函数$y = x^{2}-2x(-1\leqslant x\leqslant t - 1)$，当$x = -1$时，函数取得最大值；当$x = 1$时，函数取得最小值，则t的取值范围是(C)

A.$0 ＜ t\leqslant2$
B.$0 ＜ t\leqslant4$
C.$2\leqslant t\leqslant4$
D.$t\geqslant2$

答案： 4.C

5. 【动轴定区间】已知二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - h)^{2}$，当自变量x的值满足$1\leqslant x\leqslant3$时，与其对应的函数y的最大值为$-2$，则常数h的值为(D)

A.$1$或$3$
B.$-1$或$1$
C.$3$或$5$
D.$-1$或$5$

答案： 5.D