《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程 $x^{2}-px + q = 0(p^{2}-4q＞0)$ 的两个根是(A)


A.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
B.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
C.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$
D.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$

答案： 1.A

2. 用公式法解方程：$2x^{2}+4x = x + 2$.
解：方程化为一般形式，得2x^{2}+3x-2=0.
$\because a=$2，$b=$3，$c=$-2，
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac=$25$＞0$.
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=$\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2×2}，
即 $x_{1}=$\frac{1}{2}，$x_{2}=$-2.

答案： $2.2x^{2}+3x-2=0 2 3 -2 25 $两个不相等的$ \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2×2}$
$ \frac{1}{2} -2$

3. 方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$ 的根是x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}.

答案： $3.x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}$

4. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-3x + 2 = 0$.
(2) $2x^{2}+5x - 3 = 0$.
(3) $x^{2}+10 = 2\sqrt{5}x$.
(4) $x^{2}-4x = x-\frac{25}{4}$.

答案： 4.解：$(1)\because a=1,b=-3,c=2,\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×2=1$
$＞0.\therefore$方程有两个不相等的实数根$.\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{2}.\therefore x_{1}=2,$
$x_{2}=1.(2)\because a=2,b=5,c=-3,\therefore\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4×2×(-3)$
$=49＞0.\therefore$方程有两个不相等的实数根$.\therefore x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×2}=$
$\frac{-5\pm7}{4}.\therefore x_{1}=-3,x_{2}=\frac{1}{2}.(3)x^{2}-2\sqrt{5}x+10=0,\therefore a=1,b=$
$-2\sqrt{5},c=10,\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×1×10=-20＜0.$
$\therefore$此方程无实数根$.(4)x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0,\because a=1,b=-5,c=\frac{25}{4}$
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×\frac{25}{4}=0.\therefore$方程有两个相等的实数
根$.\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{0}}{2}.\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{5}{2}.$

5. 若代数式 $3x^{2}+1$ 的值与 $x + 3$ 的值相等，求 $x$ 的值.

答案： 5.解：由题意，得$3x^{2}+1=x+3，$整理，得$3x^{2}-x-2=0.\because a=3,b=$
$-1,c=-2,\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×3×(-2)=25＞0.\therefore$方程
有两个不相等的实数根$.\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{1\pm5}{6}.\therefore x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=$
1.故x的值为$-\frac{2}{3}$或1.

6. 小明在利用公式法解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误，他的解答过程如下：
$\because a = 1$，$b=-5$，$c = 1$，(第一步)
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×1 = 21＞0$.(第二步)
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$.(第三步)
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错的.
(2) 写出此题正确的解答过程.

答案： 6.解：
(1)-
(2)方程化为一般形式，得$x^{2}-5x-1=0.\because a=1,b=$
$-5,c=-1,\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29＞0.\therefore$方程
有两个不相等的实数根$.\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}.\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac${
$5-\sqrt{29}$}{2}