《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

12. 若点 $A(a,b)$ 和点 $B(m,n)$ 关于原点对称，且 $a + b = 1$，则下列说法正确的是(C)

A.$mn = -1$
B.$m - n = -1$
C.$m + n = -1$
D.$\frac{m}{n} = -1$

答案： 12.C

13. 在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(3,-4)$，点 $M$ 关于原点对称的点记作 $M'$，连接 $MM'$，则线段 $MM'=$10.

答案： 13.10

14. 在平面直角坐标系中，$□ ABCD$ 的对称中心是坐标原点，顶点 $A$，$B$ 的坐标分别是 $(-1,1)$，$(2,1)$，将 $□ ABCD$ 沿 $x$ 轴向右平移至点 $A$ 与点 $B$ 重合，则顶点 $C$ 的对应点的坐标是(4,-1).

答案： 14.(4,-1)

15. 方格纸中每个小正方形的边长都是 $1$ 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，$\triangle ABC$ 的顶点都在格点上.
(1) 将 $\triangle ABC$ 向右平移 $6$ 个单位长度得到 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，请画出 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2) 画出 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 关于点 $O$ 对称的 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3) 若将 $\triangle ABC$ 绕某一点旋转可得到 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，请直接写出旋转中心的坐标.

答案： 1. （1）
已知$A(-3,5)$，$B(-5,1)$，$C(-1,2)$。
根据平移规律“右加左减，上加下减”，将$\triangle ABC$向右平移$6$个单位长度，即横坐标加$6$，纵坐标不变。
则$A_1(-3 + 6,5)=(3,5)$，$B_1(-5 + 6,1)=(1,1)$，$C_1(-1+6,2)=(5,2)$。
然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）
根据关于原点对称的点的坐标特征“横、纵坐标都互为相反数”。
因为$A_1(3,5)$，$B_1(1,1)$，$C_1(5,2)$，所以$A_2(-3,-5)$，$B_2(-1,-1)$，$C_2(-5,-2)$。
然后连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$C_2A_2$，得到$\triangle A_2B_2C_2$。
3. （3）
设旋转中心为$P(x,y)$。
若$\triangle ABC$绕点$P$旋转得到$\triangle A_2B_2C_2$，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
对于点$A(-3,5)$与$A_2(-3,-5)$，$B(-5,1)$与$B_2(-1,-1)$，$C(-1,2)$与$C_2(-5,-2)$。
设$A(x_1,y_1)$，$A_2(x_2,y_2)$，旋转中心$P(x,y)$，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$，$y=\frac{y_1 + y_2}{2}$（因为旋转$180^{\circ}$时，旋转中心是对应点连线的中点）。
对于$A(-3,5)$和$A_2(-3,-5)$，$x=\frac{-3+( - 3)}{2}=-3$，$y=\frac{5+( - 5)}{2}=0$；
验证$B(-5,1)$和$B_2(-1,-1)$，$x=\frac{-5+( - 1)}{2}=-3$，$y=\frac{1+( - 1)}{2}=0$；
验证$C(-1,2)$和$C_2(-5,-2)$，$x=\frac{-1+( - 5)}{2}=-3$，$y=\frac{2+( - 2)}{2}=0$。
所以旋转中心的坐标为$(-3,0)$。

1. 【对称中心在坐标轴上】如图，将 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle A_{1}BC_{1}$. 若点 $C$ 的坐标为 $(m,n)$，点 $C_{1}$ 的坐标为 $(-m,-n + 2)$，则点 $B$ 的坐标为(0,1).

答案： 1.(0,1)

2. 【对称中心为任意点】如图，点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(1,2)$，$(3,\frac{1}{2})$，现将线段 $AB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $180^{\circ}$ 得线段 $A_{1}B$，则点 $A_{1}$ 的坐标为(5,-1).

答案： 2.(5,-1)

3. 【对称中心为线段中点】在平面直角坐标系中，已知点 $A(2,3)$，$B(0,1)$，$C(3,1)$. 若线段 $AC$ 与 $BD$ 互相平分，则点 $D$ 关于原点对称的点的坐标为(-5,-3).

答案： 3.(-5,-3)