《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

12. 若二次函数$y=(x + m)^2 + n$的图象如图所示，则点$(m,n)$在(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 12.C

13. 已知二次函数$y = - (x - 1)^2 + 2$，当$t ＜ x ＜ 5$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$t$的取值范围是(C)

A.$0 ＜ t\leqslant1$
B.$t\geqslant1$
C.$1\leqslant t ＜ 5$
D.$t\geqslant5$

答案： 13.C

14. (教材P36例4变式)在体育测试中，九年级的一名男生推铅球，已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，若这个男生的出手处点$A$的坐标是$(0,2)$，铅球路线的最高处点$B$的坐标是$(4,\frac{8}{3})$，则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{24}(x - 4)^{2}+\frac{8}{3}$，该男生能把铅球推出去$\frac{12}{}$米.

答案： 14.$y=-\frac{1}{24}(x - 4)^{2}+\frac{8}{3}$ $\frac{12}{}$

15. (2024·通辽)如图，在平面直角坐标系中，直线$y = - \frac{3}{2}x + 3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$，$D$，抛物线$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^2 + k$（$k$为常数）经过点$D$且交$x$轴于$A$，$B$两点.

(1)求抛物线的函数解析式.
(2)若$P$为抛物线的顶点，连接$AD$，$DP$，$CP$，求四边形$ACPD$的面积.

答案： 15.解：
(1)在$y=-\frac{3}{2}x + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3.\therefore D(0,3)$．$\because$抛物线$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+k$经过点$D(0,3)$，$\therefore3=-\frac{1}{4}×(0 - 2)^{2}+k$，解得$k = 4$．$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$．
(2)在$y=-\frac{3}{2}x + 3$中，令$y = 0$，得$x = 2$．$\therefore C(2,0)$，$OC = 2$．由$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$可得抛物线顶点$P$的坐标为$(2,4)$，$\therefore PC = 4$且$PC// y$轴.在$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$中，令$y = 0$，得$0=-\frac{1}{4}(x-2)^{2}+4$，解得$x = 6$或$x = -2$．$\therefore A(-2,0)$，$OA = 2$．$\therefore S_{四边形ACPD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}×(2 + 2)×3+\frac{1}{2}×4×2 = 10$．

16. 新考向 推理能力 已知二次函数$y=(x - 1)^2 - 4$.
(1)当$-1\leqslant x\leqslant4$时，求二次函数的最大值与最小值.
(2)若点$M(n - 2,y_1)$，$N(2n + 3,y_2)$在该二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧.当$y_1 ＞ y_2$时，求$n$的取值范围.

答案： 16.解：
(1)当$x = 1$时，函数有最小值，为$-4$；当$x = 4$时，函数有最大值，为$(4 - 1)^{2}-4 = 5$．$\therefore$当$-1\leq x\leq4$时，二次函数的最大值是5，最小值是$-4$．
(2)$\because$二次函数$y=(x - 1)^{2}-4$，$\therefore$该二次函数的图象开口向上，对称轴是直线$x = 1$．①若点$M$在对称轴的左侧，点$N$在对称轴的右侧，则$\begin{cases}n - 2＜1,\\2n + 3＞3,\\1-(n - 2)＞2n + 3 - 1,\end{cases}$解得$-1＜n＜\frac{1}{3}$；②若点$N$在对称轴的左侧，点$M$在对称轴的右侧，则$\begin{cases}n - 2＞1,\\2n + 3＜1,\\1-(2n + 3)＜n - 2 - 1,\end{cases}$此不等式组无解.综上所述，$n$的取值范围是$-1＜n＜\frac{1}{3}$．