《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

1. 已知 $ \alpha,\beta $ 是方程 $ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ (\alpha - 2)(\beta - 2) $ 的值是(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{13}{2} $
C.3
D.$ \frac{3}{2} $

答案： 1.A

2. (2024·乐山)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + p = 0 $ 两根为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 3 $，则 $ p $ 的值为(A)

A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.-6
D.6

答案： 2.A

3. (2024·泸州)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x - 5 = 0 $ 的两个实数根，则 $ (x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2} $ 的值是14。

答案： 3.14

4. (2024·德州)已知 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^{2}+2024x - 4 = 0 $ 的两个解，则 $ a^{2}+2023a - b $ 的值为2028。

答案： 4.2028

5. (2024·泸州泸县二模)若一元二次方程 $ x^{2}-(2m + 3)x + m^{2} = 0 $ 的两个实数根 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}+x_{2} = x_{1}x_{2} $，则 $ m $ 的值是(B)

A.-1
B.3
C.3 或 -1
D.-3 或 1

答案： 5.B

6. (2022·南充)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+3x + k - 2 = 0 $ 有实数根。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围。
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，若 $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) = -1 $，求 $ k $ 的值。

答案： 6. 解：
(1)由题意，得$\Delta=3^{2}-4 × 1 × (k-2) \geqslant 0$，解得$k \leqslant \frac{17}{4}$。
(2)
∵方程$x^{2}+3x+k-2=0$的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=k-2$。$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，$\therefore x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1$。$\therefore k-2+(-3)+1=-1$，解得$k=3$。

7. (2024·南充高坪区期中)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}-2x + m + 1 = 0 $ 的两个实数根。
(1)求实数 $ m $ 的取值范围。
(2)若 $ x_{1},x_{2} $ 满足不等式 $ 7 + 4x_{1}x_{2}＞x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $，求 $ m $ 的取值范围。

答案： 7. 解：
(1)
∵方程$2x^{2}-2x+m+1=0$有两个实数根，$\therefore \Delta=(-2)^{2}-4 × 2 × (m+1) \geqslant 0$，解得$m \leqslant -\frac{1}{2}$。
(2)
∵$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-2x+m+1=0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=1$，$x_{1}x_{2}=\frac{m+1}{2}$。$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=-m$。$\because 7+4x_{1}x_{2}＞x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$，$\therefore 7+4 × \frac{m+1}{2}＞-m$，解得$m＞-3$。又$\because m \leqslant -\frac{1}{2}$，$\therefore m$的取值范围是$-3＜m \leqslant -\frac{1}{2}$。

8. (2024·南充模拟)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m - 3)x + 2m - 10 = 0 $。
(1)求证：此一元二次方程总有实数根。
(2)已知 $ \triangle ABC $ 的两边长 $ a,b $ 分别为该方程的两个实数根，且第三边长 $ c = 3 $。若 $ \triangle ABC $ 的周长为偶数，求 $ m $ 的值。

答案： 8. 解：
(1)证明：$\because \Delta=[-(m-3)]^{2}-4 × 1 × (2m-10)=m^{2}-14m+49=(m-7)^{2} \geqslant 0$，$\therefore$此一元二次方程总有实数根。
(2)由题意，得$a+b=m-3$，$ab=2m-10$。不妨设$a＞b$，则$a-b=\sqrt{(a+b)^{2}-4ab}=|m-7|$。根据题意，得$\begin{cases} a-b＜3, \\ a+b＞3. \end{cases}$即$\begin{cases} |m-7|＜3, \\ m-3＞3, \end{cases}$解得$6＜m＜10$。
$\because \triangle ABC$的周长为$a+b+c=m-3+3=m$，$\therefore m$为偶数$\therefore m=8$。